Legjobb válasz
Eredetileg válaszolt: 4-ből?
N n-edik gyöke x ^ nN = 0 gyökere. Az x ^ nN deriváltja nx ^ {n-1}, így a gyökér kezdeti becslésének (x) függvényében a Newton módszerével közelebbi becslés
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
amely a ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 ezek átlaga}} \ text {és} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Ennek a súlyozott átlagnak akkor van értelme, ha rájön, hogy mind az x, mind a \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} az N n-edik gyökének becslése, hogy ellentétes irányban vannak „ki”. , és hogy x n-1-szer jobb becslés, mint a \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Most alkalmazzuk a módszert …
Legyen N = 4. Legyen x az ön becslése a 4-es kockagyökérről. Kezdjen egy jó tippeléssel, például x = 2. Ezután számítsa ki
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ a jobb becslés érdekében.
Ebben az esetben
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ kb. 1.66666667 …
Ezután ismételje meg az x billentyűt = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ bal (\ dfrac {5} {3} \ jobb) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ kb. 1,5911111 …
Ez a megközelítés jó körülbelül 3 jelentős számjegyre, ezért tegyük meg még egyszer,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ kb 1,58740969614163 …
Ez körülbelül 6 számjegyre jó. Minden iterációnál a helyes számjegy hozzávetőlegesen megduplázódik.
Válasz
Attól függően, hogy mennyit tudsz a matematikából, kétféle mód van-
- Logaritmusok használata
- Iteratív módszerek használata (Bisection metódus, Newton-Raphson módszer stb.)
Logaritmusok- Vegyük x = 2 ^ {1/3}
Tehát, log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (kb.)
ezért x = antilog (0.100343) = 1.2599 (kb.)
Iteratív módszerek- Bisection módszerrel mutatom meg, ha akarod, próbálhatsz másokat is. (A folyamat majdnem ugyanaz.)
Legyen x = 2 ^ {1/3}
Tehát, x ^ 3 – 2 = 0
Legyen f (x) = x ^ 3 – 2
Két olyan értéket választunk, amelyek közül az egyik f (x) <0, a másik pedig f (x)> 0 értéket ad
Látjuk, hogy f (x) <0 x = 1 esetén és f (x)> 0 x = 2 esetén. Tehát, x1 = 1, x2 = 2
Most ezeknek az értékeknek az átlagát vesszük új x
Tehát, új x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1,5) = 1,375> 0
Úgy látjuk, hogy az 1,5 és a 2 is ad értékeket> 0, tehát elvetjük a 2-t, mivel az f (x) értékét távolabb adja a 0-tól. Csak olyan x értékeket tartunk, amelyek az f (x) értékét közelebb adják a 0-hoz.
Tehát x1 = 1 és x2 = 1,5
ismét új x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25-t találunk
f (1,25) = -0,046875
Most dobja el az 1. értéket 1,25-ként, adja meg az f (x) értékét közelebb 0-hoz
tehát x1 = 1,25 és x2 = 1,5 értéket veszünk fel
Ismét új x-et találunk e 2 érték átlagaként, helyettesítse az f (x) -ben az előjelének megtekintéséhez, és ettől függően felvesszük az új x1 és x2 értékeket.
Ismételje meg ezt a folyamatot, amíg meg nem elégszik a válaszával (végső x).
P.S. Ezek a folyamatok soha nem fognak pontos választ adni, valamilyen hozzávetőlegesnél kell megállni.