Legjobb válasz
A legtöbb szekvenciát a n- harmadik kifejezés: a\_n = f (n) ahol f az aritmetikai műveletekből, hatványokból, gyökerekből, hatványozásból, naplókból és néha más függvényekből felépített függvény. A kérdés az, hogy mi történik, amikor n közeledik a végtelenhez. A (z) \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) véges szám, vagyis konvergál a szekvencia, vagy valami más történik? Eltér a \ infty vagy a \ \ infty között, két különböző szám között ingadozik, vagy az összes káosz elszakad?
Ha nem érdekel a bizonyosság, de elégedett egy válaszsal, s a legtöbb helyzetben igaza lesz, egyszerűen kiszámíthatja a\_ {1000} értéket, vagy valahol másutt, messze a sorrendben. A legtöbb szekvenciával, amellyel találkozik, ez válaszoljon a kérdésére.
De ez nem a kérdésed. Valóban tudni akarod, hogy a szekvencia konvergál-e vagy sem. Biztonságot akarsz, és ha lehetséges, szeretnéd tudni, hogy milyen számra konvergál. Sajnos a szekvenciák formái korlátlanok lehetnek. A legjobb, amit tehet, hogy több olyan alapelve van, amely a legtöbb esetben gondoskodni fog. Íme néhány alapelv.
- Racionális függvények , vagyis a polinomok hányadosa, például a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Láthatja, mi fog történni, ha elosztja a számlálót és a nevezőt a jelenlévő n legnagyobb értékével. Összefoglalhatja mindezt egy tételben: Ha a számláló mértéke megegyezik a nevező mértéke, akkor a szekvencia konvergál a vezető együtthatók arányához (a példában 4/3); ha a nevező magasabb fokú, akkor a szekvencia konvergál 0-ra, ha a számlálónak magas r fok, akkor a szekvencia \ infty-re tér el, ha a vezető együtthatók azonos előjelűek, vagy – \ infty-re, ha különböző előjelekkel rendelkeznek.
- Quotients algebrai függvények, amelyek olyan gyökereket tartalmaznak, mint a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Osszuk el a számlálót és a nevezőt a n tört hányadával. Ebben a példában \ sqrt n megteszi.
- Kompozíciók , például a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. A külső függvény, a szinusz, folyamatos függvény, és a folyamatos függvények megőrzik a határokat. Ebben az esetben \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0 van, tehát az eredeti szekvencia megközelíti a \ sin0 = 0 értéket. De vegye inkább a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} értéket. Itt van \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ és \ infty, és a \ sin x oszcillál –1 és 1 között, mint x \ to \ infty, tehát ennek a sorrendnek nincs korlátja.
- A növekedés relatív rendje . Gyakran megvan a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)}, ahol f (n) \ – infty és g (n) \ to \ infty is. Mi történik a hányadossal, attól függ, hogy a a számláló vagy a nevező gyorsabban növekszik. A \ prec szimbólummal jelzem, hogy az egyik sokkal lassabban növekszik, mint a másik, vagyis f \ prec g jelentése \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Hasznos ezek közül néhányat megismerni, és ezt Ön is megteszi. Például n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Ezek mind példák a polinomokra, de tudnunk kell még néhány függvényt \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L “Hôpital” szabálya . Bár a szekvenciák diszkrétek, ha a folyamatos határ konvergál, vagy ha plusz vagy mínusz végtelenre tér, akkor Tehát például ha a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} -et kapott, és nem használta a fent említett sorrendeket, akkor használhatja az L “Hôpital” szót s szabály. Mivel a korlátban, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, a számláló és a nevező is közeledik a végtelenhez, ezért ez a határ megegyezik a korlátozza azt a helyet, ahol a számlálót és a nevezőt levezeti származékaikkal, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, és ha még mindig nem világos, hogy mi történik, mivel ez szintén a \ infty / \ infty formátumban használhatja az L “Hôpital” ag szabályt ain.
- Az e ^ x különleges korlátja. Néha ezt használják az exponenciális függvény definíciójaként. Érdemes tudni, és gyakran felmerül hasznos sorrendben. (1 + x / n) ^ n \ – e ^ x
Biztos vagyok benne, hogy vannak további technikák. Ne felejtse el egyszerűsíteni az algebra használatát.
Válasz
Kevés teszt a szekvenciák konvergenciájának tesztelésére.
1. Adjon meg egy a\_n és ha olyan f (x) függvényünk van, hogy f (n) = a\_n és \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L, akkor \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. Ha \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0, akkor \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. A szekvencia {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty konvergál, ha -1 \ ler \ le1.
4. Egy \ {a\_n \} szekvencia esetén, ha \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, akkor az a\_n konvergens az L határértékkel.
Forrás: Pauls Online Notes: Calculus II