Legjobb válasz
Hogyan oldhatom meg a tan theta = -2?
Nos, ehhez a arctan függvény használatával kezdjük, amely a érintő függvény és olyan \ theta értéket talál, amely \ tan (\ theta) = -2.
Kiszámíthatjuk az értéket, de ez egy komplex „képzeletbeli” számokat magában foglaló eljárás. Ez sok gondnak tűnik, így a táblázatok használata könnyebb lenne, még akkor is, ha talán kissé kevésbé pontos. Noha van egy régi készlet a szüleim padlásán, ez nekem jelenleg nem használ, ezért keressünk az interneten néhány táblázatot. Várjon, ha hozzáférésem van az internethez, miért nem nézi meg, hogy az internet elvégezheti-e számomra a számítást?
Nos, ezek a közelítések valószínűleg pontosabbak, amelyekre szükségünk van, de egyelőre ragaszkodunk hozzájuk.
Talán nem tetszik a negatív szögek gondolata? Ne aggódjon, könnyű ezeket pozitív szögekké konvertálni 360 ° 2π radián összeadásával.
Így 5.17603659 radián / 296.5650512 ° van
De még nem értünk véget !
A arctan függvény csak az exkluzív tartományban (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), azaz (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Tehát vannak más szögek, amelyek érintője értéke -2?
Először is a tangens függvény negatív értéket ad, ha a szög a második és a negyedik negyedben van, vagyis amikor a szögek a kizárólagos tartományokban vannak (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) és (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). A megoldás már a negyedik negyedben van, tehát mi a megoldás a második negyedben? Ez keletre esik, csak vegyen π radiant / 180 ° -ot a negyedik negyedben lévő megoldástól.
Miért? Nos, a érintő függvény összetett szög képletéből a következőket kapjuk:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – as \ tan (\ pi) = 0
Ez megadja nekünk a második megoldást, 2.03444393 radián / 116.5650512 °
Másodszor, a érintő függvény periodikus, 2π radián / 360 ° periódus; ez azt jelenti, hogy a 360 ° -os 2π radián bármelyikének többszörösét hozzáadva ugyanazon tangens értéket kapjuk.
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – mint \ tan (2 \ pi) = 0
Tehát a k használatával bármely egész szám képviseletére teljes megoldáskészletünk a következő:
(2.03444393 + k \ pi) \ radiánok vagy (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Válasz
Idézd fel, hogy sec (theta) = 1 / (cos (theta). Ezután
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, ami másodfokú egyenlet cos (theta). Ennek az egyenletnek a két gyöke a (3 + – sqrt (5)) / 2, amelyek valójában 1 + – phi, ahol a phi a híres „aranyarány”, és az x ^ 2 – x – 1 másodfokú gyökerei.
Mivel a phi gyökér, ezt az egyenletet elosztva a phi ^ 2-vel azt mutatjuk, hogy a másik gyök -1 / phi. És mivel phi + 1 = phi ^ 2, megvan, hogy eredeti egyenleted gyökerei phi ^ 2 és 1 / phi ^ 2. Mivel a koszinusznak 1-nek kell lennie, ezért a kisebb gyököt kell használnunk .
Ha az n-edik Fibonacci kifejezés F (n), akkor phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (A bizonyítás az n indukciója, az utolsó lépésben az F (n + 1) = F (n) + F (n-1) Fibonacci definíció használatával.) Ekkor meg akarja mutatni, hogy phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. A 6. és a 7. F értéke 5 és 8. Tehát kiértékelte
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Ha ezt megszorozza és racionalizálja a második kifejezést, akkor 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED