Legjobb válasz
A komplex szám kétrészes szám. Van egy valós és egy képzeletbeli része. Hajlamosak vagyunk a következő formában írni:
a + bi, ahol i a negatív négyzetgyöke, azaz (-1) ^ (1/2)
Időközben , egy szám négyzete maga a számszoros. Ez azt jelenti, hogy
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Ehhez hasonlóval találkoztunk, amikor a másodfokú egyenletek tényezőit vettük figyelembe. Szisztematikus megközelítés létezik két kétrészes tényező szorzatának kiterjesztésére. Talán találkozott a „FOIL” betűszóval:
- Szorozza be a két F első kifejezést
- Szoroz a két O uter kifejezés
- Szorozza meg a két I nner kifejezést
- Szorozza meg a két L ast kifejezést
Összegezze a válasz négy kifejezését
Alkalmazza ugyanazt a FOIL megközelítést, a (a + bi) * (a + bi) gombbal,
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Átrendeződhetünk egy kicsit. A középső két kifejezés ugyanaz, ezért egyszer felsorolhatjuk őket, de megszorozva kettővel.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
És most nézd meg ezt az utolsó kifejezést, és ismerd fel, hogy egy szorzat négyzetét külön négyzetek szorzataként írhatjuk fel. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Alkalmazzuk ezt a szabályt:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
De az „i” a -1 négyzetgyöke. A szám négyzetgyökének négyzete maga a szám. Tehát (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Csatlakoztassuk ezt.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Ez az utolsó kifejezés még mindig csúnya. A „negatív idők egyikét” átválthatjuk a másik oldalra, és az egész kifejezést kivonásként átírhatjuk.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
De ha megnézzük a kifejezés nem követi a valós rész formátumát, amelyet egy képzeletbeli rész követ. Van egy igazi részünk, egy képzeletbeli részünk és egy másik valós részünk. Csoportosítsuk újra a valós részeket.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Válasz
Először gondoljon egy komplex számra, az a + bi rendezett párra (a, b ). A vízszintes REAL TENGELYŰ KOMPLEX SÍKBAN, ahol az x tengely normál helyzetben van, és egy függőleges Képzetes tengellyel, ahol az y tengely normál helyzetben van, a szokásos módon ábrázolja az (a, b) pontot. Azt hiszem, hogy az origótól az (a, b) pontig terjedő távolságot a komplex szám MODULUSÁNAK hívjuk, hívjuk meg ezt az r-t.
Tudjuk, hogy r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) a PYTHAGOREAN-tételből. (Elnézést a jelölésért, de ezt “korlátoztam.”
A pozitív Real tengely és az origótól a (a, b) Thetát hívjuk (ehhez használjuk a T-t). (Ezt a komplex szám ARGUMENTJÁNAK nevezzük)
Most. Az a + bi komplex szám POLAR FORM-ba írható
a + bi = r (Cos T + iSin T), mivel
a = r CosT és. b = r Sin T
A a + bi, használja a sarki alakot.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Tehát ennek elkészítéséhez egyszerű, csak nézzük meg az a + bi komplex szám grafikonját, egy vonallal az origótól az (a, b) vonalig. Most forgassuk félig az egyeneset az x tengelyig, és rövidítsük a négyzetgyökig, amíg csak nem volt. Ennek a végpontnak a koordinátája a komplex szám négyzetgyöke A négyzetgyök csak 180 fokos távolságra van onnan.
Ennek bizonyításához vegyük a Z = -4 négyzetgyökét
A gráf egy pont a negatív valós tengelyen , 4 egységgel az origótól balra. A T = 180 fokos szög.
a -4 négyzetgyökének megadásához csak forgassa vissza a vonalat 90 fokra (180 fele), és rövidítse le hosszát 2-re a négyzet négyzetére. 2 egységet tekerünk fel a képzeletbeli tengelyen. Tehát a -4 négyzetgyöke 2i. A másik négyzetgyök pedig -2i, 180 fokos távolságra van.
Jelképekkel:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
és 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Az (i) négyzetgyökének megszerzéséhez
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= 2 gyök 2 felett + (i) 2 gyök 2 felett.