Legjobb válasz
Igen, ez álruhában a Monty Hall-probléma. Ebben a problémában a „váltás” csak egy módszer annak hangsúlyozására, hogy az egyik valószínőség eltér a másiktól. Ebben a problémában inkább azt az ajtót szeretné, ha a házigazda kinyithatta volna, de nem tette meg. Itt inkább te lennél a fogoly, akit az őrség megnevezhetett volna, de nem tette meg. Ugyanaz.
A hibás. Úgy gondolja, hogy csak B-ről tanult információt, semmit A-ról és C-ről. De tudott valamit C-ről: az őrség megnevezhette volna, de nem t. Az érme megfordítása miatt az esetek 50\% -ában, ahol A kegyelmet kapott volna, az őrnagy C-t nevezte volna meg. De B-t 100\% -ban megemlítette, ahol C-t kegyelmezték volna. Ez az arány – 50\% és 100\% – teszi most kétszer nagyobb valószínűségűvé, hogy C kegyelmet kap.
Történelmi oldal: Az Ön által említett probléma eredetileg Martin Gardner 1959. októberi (gondolom) tudományos kiadásában jelent meg. Ugyanebben a számban elnézést kért, amiért rossz választ kapott erre a kérdésre:
- Mr. Smithnek két gyermeke van. Legalább az egyik fiú. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét gyermek fiú?
Eredetileg azt mondta, hogy a válasz 1/3. De a bemutatott kérdés kétértelmű; attól függ, hogyan tanultad meg, hogy legalább egy gyerek fiú volt.
Ha azért kérdezted, hogy „Legalább egy fiú? ”, akkor 1/3 a helyes. De ha ez csak egy véletlenszerű tény volt, amit megtudtál, vagyis azt is megtanulhattad volna, hogy „legalább egy lány”, akkor a válasz 1/2.
És valójában a Két Gyermek probléma csak egy változata a Három Fogoly Problémának, amelyben három helyett négy rab van, vagy a Monty Hall problémájának, négy ajtóval. Gardner feltette a három rabot, hogy tisztázza ezeknek a problémáknak a működését, és belefoglalta az érme flip részt. kifejezetten annak bemutatására, hogy a választ hogyan az információ megszerzésének folyamata határozza meg.
Válasz
A három fogvatartott problémát könnyebben meg lehet érteni, ha a feltételes valószínűségekhez ragaszkodunk, nem pedig a hátsó valószínűségekhez.
Tehát három A, B, C fogoly halálos ítéletet kapott, és egyiküket kegyelemben részesítették egy véletlen játék alapján. Az A rab megkéri az őrmestert, hogy legalább fedje fel az egyik másik fogoly nevét, akit nem kegyelmeztek.
A kérdés feltevésével A két csoportot hozott létre.
- I. csoport – egyedül A bevonása.
- II. csoport – B és C bevonása.
Ennek a két csoportnak megfelelõen két esemény létezik:
- Valaki az I. csoportból kegyelmet kapott. (Csak A).
- Valaki a II. csoportból kegyelmet kapott (B vagy C).
Mivel mindkettő ezek az események egyenértékűek, mindkét esemény valószínűsége \ frac {1} {2}. A második csoporton belül B vagy C kiválasztásának valószínűsége ismét \ frac {1} {2}.
Az őrség most B-t nevezi meg olyan fogolynak, akit nem kegyelmeztek.
Mivel az őrs nem szólt semmit a C rabról, ez azt jelenti, hogy a második esemény valószínűsége (valakinek kegyelmet nyújtanak a B és C részvételével rendelkező csoporttól) továbbra is ugyanaz – \ frac {1} {2}.
De mivel a B-t megszüntették, ez azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy C kegyelmet kap a II. csoportból, \ frac {1} {2} -ről 1-re nőtt !!! Megkétszereződött az esélye a kegyelem megszerzésére !!!
Másrészt ugyanezzel az érveléssel, mivel az őrnagy nem mondott semmit A rabról, az első esemény valószínűségéről (valakitől az első csoport) továbbra is ugyanaz – \ frac {1} {2}.
Az A fogoly kérdése tehát nem ad új információt A sorsáról. Másrészről, C fogoly (akinek A megadta ezeket az információkat), most már tudja, hogy megkétszereződött az esélye a kegyelem megszerzésére.
Ez az, amit tudnia kell a három fogoly lényegének megértéséhez. Probléma. Ha azonban Bayes képletével szeretné ellenőrizni intuícióját. Megteheti az alábbiak szerint:
Bayes megfogalmazása a három rab problémájáról
Legyen A, B és C az A, B és C foglyok kiszabadulásának megfelelő esemény.Legyen b az az esemény, amikor az őrnagy azt mondja A-nak, hogy B foglyot kivégzik, majd Bayes-tétel felhasználásával az A kegyelmi utólagos valószínűsége:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
A C valószínűsége kegyelemben részesülni viszont:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ szor \ tfrac13} {\ tfrac12 \ szor \ tfrac13 + 0 \ szer \ tfrac13 + 1 \ szer \ tfrac13} = \ tfrac23
Így az A kegyelmi utólagos valószínűsége ugyanaz marad, mint az apriori valószínűsége (\ frac {1} {3}), míg a C kegyelem megduplázódik.
A P (b | A) (\ frac {1} {2}) és a P (C | b) (1) kifejezésben láthatja a feltételes valószínűségek hatását a hátsó valószínűségekre.