Legjobb válasz
Így közelítenék meg egy hozzávetőleges megoldást:
x értékének a [-1,1] intervallumban kell lennie, mint azon az x ^ 2> 1 intervallumon kívül, amely kívül esik a \ sin {x} tartományon. Tovább korlátozható a [0,1] intervallumra, mint amikor -1 \ le x , \ sin {x} <0, míg x ^ 2> 0. A [0,1] intervallumon belül létezik egy triviális megoldás az x = 0 értékre.
Az x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } mivel x ^ 2 <\ frac {1} {2}. Mivel sokkal nagyobb x esetén egyértelműen x ^ 2> \ sin {x} van, az intervallumban (0,1) legalább egy megoldásnak léteznie kell. Ezenfelül ezen az intervallumon a \ sin {x} negatív második derivált, míg az x ^ 2-nek pozitív a második deriváltja, tehát legfeljebb egy megoldás van az intervallumban (0,1]. Amint az x ^ 2 görbéje megelőzi a \ sin {x} görbéjét, nem léphet vissza.
Tehát pontosan egy megoldás van a (0,1] -ben. Ennek a megoldásnak a becsléséhez használja a Taylor-sorozat első két tagját a szinuszfüggvényhez, hogy megkapja az x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Ez x ^ 2 + 6x-6 = 0-ra vagy x = \ sqrt {15} -3-ra csökkenti a hozzávetőleges megoldást. Hat tizedesjegyig, \ sqrt {15} -3 \ kb. 0,872983.
Összehasonlításképpen: numerikus közelítés hat tizedesjegyre adja a megoldást, x = 0,876726. Tehát a Taylor-sorozat csak két tagját használó közelítésünk meglehetősen szoros volt, de nem tökéletes.
Válasz
Egy ilyen kérdéshez általában célszerű grafikonokkal ábrázolni a függvényeket, hogy képet kapjunk a viselkedésükről. Valószínű válaszokat szeretne kapni.
Hozzáadhatunk 2x-t mindkét oldalhoz, majd eloszthatjuk 2-vel, hogy x = 1,3 \ sin (x) kapjunk. A szinuszfüggvény -1 és 1 között van korlátozva, ezért csak -1,3 és 1,3 közötti x értékekkel kell foglalkoznunk. Az y = x gráf csak egyenes. Az y = 1,3 \ sin (x) grafikon felfelé hajlik -1,3 és 1,3 között, mert az 1,3 kisebb, mint egy derékszög, és a szinusz – \ pi / 2-ről \ pi / 2-re nő.
Ha ismer valamilyen számítást, akkor tudja, hogy az 1,3 \ sin (x) növekedési sebességét 1,3 \ cos (x) adja meg. Ez a változás mértéke növekszik, majd ismét csökken (ezt nevezzük inflexiós pontnak). Az y = 1,3 \ sin (x) grafikonja homorú -1,3 és 0 között, majd homorú 0 és 1,3 között. Viszonylag könnyű észrevenni, hogy x = 0 megoldás. Mivel az y = 1,3 \ sin (x) meredeksége nagyobb, mint az y = x meredeksége abban a pontban, alulról onnan keresztez. Most ezen a ponton úgy döntöttem, hogy ki kell találnom az 1,3 \ sin (1,3) értékét. Ne feledje természetesen, hogy a szinuszfüggvény a radiánban megadott szögekre vonatkozik. Ez kevesebb, mint 1,3.
Ezen a ponton következtethet a helyzet jellegére. A két funkció háromszor keresztezi egymást -1,3 és 1,3 között. Hívjuk a pozitív megoldást c. A szimmatria miatt (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) a negatív megoldás -c. Az 1,3 \ sin (x) homorúsága megakadályozza, hogy bármilyen más megoldás létezzen. Tehát nem marad más, mint kideríteni, mi a c.
Néhány diák furcsának tartja, hogy gyakran nincs „zárt forma” egy ilyen egyenlet megoldására. Azt mondhatjuk, hogy 0 és 1,3 között van megoldás, de úgy gondolom, hogy ebben az esetben nincs ismerős képletünk az ismert funkciók szempontjából. Tehát, ha foglalkozni akar vele, el kell döntenie, mit kell tudnia róla.
Ha bizonyos pontossággal szeretné kiszámítani, van néhány módszer. Van egy naiv megközelítés, amely ebben az esetben működik. Ha x értéke 0 és 1,3 között van, ha ez kisebb, mint az oldat, akkor az 1,3 \ sin (x) nagyobb, és ha nagyobb, mint az oldat, akkor az 1,3 \ sin (x) kisebb. Tehát ha folyamatosan x értékét 1,3 \ sin (x) -re cseréli, akkor az a gyökérhez közelít. Tehát mondjuk, hogy x = 1.0-val kezdem. Ekkor 1,3 \ sin (1) = 1,9039 … tehát használd ezt a következő x értékeként. Ez a folyamat konvergál a megoldáshoz, bár nem túl gyorsan, mert minden lépés csak valamivel közelebb hozza az értéket a megoldáshoz.
A második módszer az intervallum felosztása. Így megpróbálhatjuk értékelni az 1,3 \ sin (1.1) és az 1.3 \ sin (1.2) értékeket, hogy megkapjuk a megoldás első tizedesjegyét. Mivel 1.3 \ sin (1.1) <1.1, míg 1.3 \ sin (1.2)> 1.2, úgy tűnik, hogy a gyökér 1,1 és 1,2 között van. Ezután megpróbálhatjuk az 1.3 \ sin (1.15) értéket, hogy meggyőződjünk arról, hogy a megoldás kisebb vagy nagyobb, mint 1,15. Ez a módszer szintén nem konvergál ilyen gyorsan, bár jól működik bizonyos helyzetekben, ahol az első módszer nem.
Van néhány más módszer is ( Root- algoritmus keresése – Wikipédia ), különös tekintettel a szekáns módszerre és Newton módszerére. Gyorsabban konvergálnak.
A secant módszer két közelítést tart mindkét oldalon, például 1.1 és 1.2. Aztán úgy teszünk, mintha a grafikonok egyenesek lennének, hogy megközelítő megoldást kapjunk. A számítás nem egészen olyan egyszerű, bár valójában nem vesz részt benne.
Newton iterációja során érintő vonalat kell húznia a görbéhez, hogy közelítsen a két görbe kereszteződéséhez, majd ismételje meg. Ha a gyökérhez elég közel álló értékkel indul, általában meglehetősen gyorsan konvergál.A pontosság számjegyeinek száma általában megduplázódik minden lépésnél (bár valószínűtlennek tűnik, hogy bárki sok számjegyű pontosságot akarna a gyökérhez).