Legjobb válasz
A már közzétett többi válasz megtekintésével egyáltalán nem vagyok elégedett a teljességükkel. … és tapasztalt matematikaoktatóként kötelességemnek érzem rövidített választ adni.
Az általad jelzett cos (2x) képlet a koszinusz három dupla szög-azonosságának egyike. A sin (x / 2) egyenlet megoldása a szinusz félszög azonosságát eredményezi.
Felhívjuk figyelmét, hogy ahol Jelöltem *. A trigonometria egyik kevésbé ismert szabálya azt jelzi, hogy az egyenlet mindkét oldalán egyenletesen oszthatja el az összes trig függvény argumentumot ugyanazzal az állandóval. Ami azt illeti, bármely konstansot fel lehet osztani. de ez nem mindig lehet hasznos. Próbálja meg megoldani a bűn (x / 3) fenti egyenletét, majd használja ezt a bűn (pi / 12) megtalálásához. Gyönyörűen működik.
Most, hogy a sin (x / 2) képletet valóban használni tudja, az adott egyenletet ekvivalens, összetett törtrész segítségével kell manipulálnia, amint itt látható:
Ezt természetesen a fenti első kép mutatja be. A félszög-azonosság ismerete / levezetése mellett a nagyobb kihívás valójában az.
Válasz
I. Használjunk egyenértékűség néven ismert problémamegoldási megközelítést.
Ezzel a megközelítéssel választunk egy előnyös objektumot vagy objektumkészletet, és megnézzük különböző szögekből, abban a reményben, hogy gyümölcsöző kapcsolatot nyerhetünk a folyamat során.
Ilyen objektum vagy fogalom lehet négyzet alakú terület .
Egy derékszögű háromszögből indulunk ki, amelynek hipotenuszának hossza egység, válasszunk egy x szöget, és jelöljük a háromszög oldalainak hosszát \ cos x-nek, amelyet vállalunk háromszögnek magasság és \ sin x, amelyeket vállalunk háromszög alapként kezelni:
Ezután bizonyított ténynek vesszük, hogy egy háromszög négyzet alakú területe a felének a e magasság felett:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
A következő lépés elég nagy kihívást jelent, mert vákuumban nem igazán tudjuk pontosan, mi vár ránk a 2 \ sin x \ cos x másik oldalán. A felfedezők szempontjából az ismeretlen mélységébe meredünk. Nevezzük tehát intuíciónak, boldog gondolatnak vagy csak orrnak, de így érvelünk:
rendben, megtaláltuk a módját, hogy konkrét fogalmat (négyzet alakú területet) csatoljunk egy egyébként elvont és valljuk be ez, meglehetősen titokzatos kifejezés, de – nem pontosan, mivel a 2-es tényezőt még mindig ott kell dolgoznunk.
Hogyan tehetnénk ezt?
Nos, mit szólnál a két egyforma háromszög összekapcsolásához együtt?
Ekkor a magasság vagy a \ cos x a nyelvünkben változatlan marad, de nyerünk, ha a két azonos alapot, a nyelvünkben szereplő \ sin x-et hegesztjük egybe:
Vegye figyelembe, hogy pedánsan követjük / értelmezzük a kifejezését.
Itt az ideje a ekvivalencia magasra állni és számolni. Az új összetett alakzat továbbra is háromszög, négyzet alakú területe pedig továbbra is:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
de jogunk van ugyanazt az alakzatot másképp nézni: ha az 1. hosszúságú oldalt alapként kezeljük, akkor az arra merőleges, piros színnel látható, a magasság. De a felső csúcs szöge 2x. Ezért az új magasság definíció szerint:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Ezért ugyanazon a háromszög ugyanazon négyzetterülete lehet a következőképpen jelenik meg:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
De ( 2 ) és ( 4 ) azonos nagyságrendet képviselnek. Ezért:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ címke * {}
onnan, ahol kiderül, hogy:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Egy hasonló, de írástudóbb kezelés esetén kezdje ugyanazzal a háromszöggel, mint fent, és duplázza meg \ sin x oldalának hosszát úgy, hogy felépít egy kört \ sigma, amelynek B középpontja és BA sugara van: >
De most az AC metszi a \ sigmát E-ben (mindaddig, amíg x 5 ^ {\ circ}), és vagy a Thale-tétel, vagy a Euklidész B3P31 (a félkör szöge jobb) és az E szöge jobb:
és mivel az ABC és az AED derékszögű háromszögek közös \ theta szöget zárnak be, következik, hogy \ ADE = x szög és az AED háromszögből ED esetén: > | ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
De a derékszögű CED for ED háromszögből van:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
és ezért:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(gondolhat erre egy soványabb egyenértékűségre, mivel egy vonalszakasz hosszát használtuk a két darab közötti rés áthidalására)
III. Valószínűleg ez a verzió túl fejlettnek tűnhet, de mindenesetre két okból is megmutatom. Ennek egyik oka annak bemutatása, hogy a matematikában nemcsak sokféle módon lehet elérni ugyanazt az eredményt, de ezek közül néhány meglepőnek tűnhet. A másik ok – lesz mit várnia, amire megtanulhatja.
A matematikai oktatás egy bizonyos pontján találkozhat a komplex számok nevű objektumokkal . Ezekkel a számokkal két trigonometrikus függvényünket a következőképpen rögzíthetjük (egy nagy svájci matematikus, Leonard Euler (1707–1783) miatt):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
ahol e Euler száma és nekem megvan ez a sajátos tulajdonsága, hogy i ^ 2 = -1, de mindezt egy pillanatra figyelmen kívül hagyja, és csak nyersen szorozd ki a fenti két részt a középiskolai algebra szabályai szerint:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
a ( 5 ) szerint.