Legjobb válasz
1. Számgyökerek.
Az általános iskolában azt a tanácsot kaptuk, hogy a szám négyzetgyöke valójában kérdés. A gyökér az a szám, amelyet önmagával megszoroztak, annyiszor, hogy számot kapjanak. Például. négyzetgyök 9 = 3, mivel 3 × 3 = 9 negyedik gyökér 16 = 2, mivel 2 × 2 × 2 × 2 = 16 és így tovább. A gyökerek jellege azonban alapvetõbb, mivel alkalmazása kiterjesztette a számrendszert a racionálisról a valósra. Más szavakkal, a gyökérkeresés mûveletének használatához ki kellett terjeszteni a számrendszert úgy, hogy az a a “gyökeresedés” művelete az irracionális számok bevitelével. A racionális számok +, -, ×, ×, ÷ esetén vannak lezárva, de nem az Ö esetében. vacsorázzon, mivel nem négyzetes, ha, ha, a világnézetükkel.
2. Az egyenletek gyökerei
A jellegünkről azt mondták, hogy a görbe átvágja x tengely. Ez a polinomtól függően egyszer, kétszer, háromszor előfordulhat. Kiszámolásra szabályokat dolgoztunk ki, amelyeket mindannyian megtanultunk. Ezután feltették a kérdést. Mi történik, ha a görbe nem vágja el az x tengelyt? Akkor nyilvánvalóan egy képzeletbeli gyökér, és ez akkor történt, amikor b ^ 2-4ac . Ehhez a számrendszer újabb kiterjesztésére volt szükség szükséges. Tehát feltalálták a komplex számrendszert, amely negatív számok gyökereit tartalmazza. Tehát a “gyökerek” természete az volt, hogy a számrendszert kibővítették a racionális számokon túl.
Válasz
Úgy képzelem, hogy a „természetes” -re gondolsz a „természetes izomorfizmus” értelmében. Ha valami „természetes” vagy „kanonikus”, akkor ez nagyjából azt jelenti, hogy nem önkényes választás eredménye. Természetesen a kontextusa határozza meg.
A „természetes” dolog egyik motiváló példája a véges V dimenziós vektortér és annak kettős kettős V ^ {\ vee \ vee} közötti izomorfizmus. Az izomorfizmus a V \ V-ben levő E\_v \ -be V ^ {\ vee \ vee} -be visz, ahol E\_v (\ phi) = \ phi (v) a \ phi \ számára V ^ \ vee-ben. A v vektort elküldi az E\_v térképre, amely kiértékeli a kettős vektorokat a v-n. Ez természetes; nem történtek önkényes döntések, csak közvetlenül kiesett az érintett tárgyak definícióiból és viszonyaiból.
Más izomorfizmus is létezik e két tér vagy természetesen között, de ez a „helyes választás”. Bármely más választás természetellenes lenne; például elküldheti v-t E\_ {A (v)} -nek, ahol A: V \ V-re V önkényes lineáris automorfizmusa. De … miért? Nincs oka annak, hogy egyáltalán be kell vezetnie az A-t, mivel a természetes választás v \ mapsto E\_v van közvetlenül előtted. Remélhetőleg a „természetes” és a „természetellenes” izomorfizmus közötti különbség elég egyértelmű.
Másrészt nincs L: V \ – V ^ \ vee természetes izomorfizmus. Az izomorfizmus felépítése önkényes választásokat igényel. Kiválaszthattam egy b\_1, \ dots, b\_n alapot, és kijelenthetem, hogy L (b\_i) a kettős vektor, amely a b\_i-t 1-re, az összes többi bázisvektort 0-ra viszi. Ez egy teljesen finom izomorfizmust határoz meg, de pontosan ugyanezt megtehetném bármilyen más alapon, és kap egy másik, ugyanolyan érvényes izomorfizmust. Nem lehet természetes, Isten által adott * módon választani egyet.
Ez nagyon durva, informális leírás. A kategóriaelmélet pontosíthatja (és pontosítja is): a functorok és a természetes átalakulások megfelelő módot kínálnak arra, hogy elgondolkodjunk azon, hogy mitől lesz valami „természetes” valamilyen összefüggésben. Minden tőlem telhetőt megtettem, hogy közvetítsem a koncepcióval kapcsolatos saját intuíciómat, ami úgy gondolom, hogy elegendő lenne mindaddig, amíg az ember nem áll készen a (cate) gory részletekre.
* a matematika teológiája / ontológiája ellenére