Legjobb válasz
A cos (A + B) = Cos A cos B – sin A sin B, hogy megkapjuk a cos 2x formuláját.
Tehát, Cos 2x = Cos (x + x) = Cos x cos x – sin x sin x = cos ^ 2 x – sin ^ 2 x
Tehát, Cos 2x = cos ^ 2 x – sin ^ 2 x … ……. (1)
Ismételten cos ^ 2 x – sin ^ 2 x = cos ^ 2 x – (1- cos ^ 2 x) = 2 cos ^ 2 x – 1
Tehát, Cos 2x = 2 cos ^ 2 x – 1 …………… .. (2)
Ismét 2 cos ^ 2 x – 1 = 2 (1 – sin ^ 2 x) – 1 = 1 – 2 sin ^ 2 x
Tehát , Cos 2x = 1 – 2 sin ^ 2 x
Ezért Cos 2x = cos ^ 2 x – sin ^ 2 x = 2 cos ^ 2 x – 1 = 1 – 2 sin ^ 2 x
Válasz
Ez az ab * tch:
{\ displaystyle \ int} \ dfrac {2x} {\ sin \ bal (2x \ jobb)} \, \ mathrm {d} x
Ezt az egyenletet úgy írjuk át, hogy = {\ displaystyle \ int} 2x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x \ Rightarrow \ class {steps-node} {\ cssId {steps- node-1} {2}} {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x
Oldjuk meg a {\ displaystyle \ int} x megoldást \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x
Átírás exponenciálokkal: = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {2 \ mathrm {i} x} {\ mathrm { e} ^ {2 \ mathrm {i} x} – \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x \ Rightarrow \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-2} {2 \ mathrm {i}}} {\ cdot} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} – \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x
Most megoldja: {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} – \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x
Helyezze a kifejezéseket közös nevezőre: = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}} {\ mathrm {e} ^ {4 \ mathrm {i} x} -1} \, \ mathrm {d} x
Mivel \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ balra [\ mathrm {i} x \ right] = \ mathrm {i}.mathtt {g}
\ mathtt {f} \: = \ ln \ balra (v \ jobbra) \ to \ mathtt {f} “\: = \ dfrac {1} {v}; \ mathtt {g} “\: = \ dfrac {1} {v + 1} \ to \ mathtt {g} \: = \ ln \ balra (v + 1 \ jobbra)
= \ ln \ balra (v \ jobb) \ ln \ bal (v + 1 \ jobb) – {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ bal (v + 1 \ jobb)} {v} \, \ mathrm {d} v
{\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ balra (v + 1 \ jobbra)} {v} \, \ mathrm {d} v
Most megoldja: {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ bal (v + 1 \ jobb)} {v} \, \ mathrm {d} v
Helyettesítse a w = -v \ longrightarrow \ mathrm {d} v = – \ mathrm {d} w
= – {\ displaystyle \ int} – \ dfrac {\ ln \ bal (1-w \ jobb)} {w} \, \ mathrm {d} w
Ez megint egy dilogaritmus, mint fent: = \ operátornév {Li} \_2 \ bal (w \ jobb)
Tehát – {\ displaystyle \ int} – \ dfrac {\ ln \ bal (1-w \ jobb)} {w} \, \ mathrm {d} w = – \ operátornév {Li} \_2 \ bal (w \ jobb)
Csere visszavonása w = -v: = – \ operátornév {Li} \_2 \ bal (-v \ jobb)
Csatlakoztassa a megoldott integrálokat: \ ln \ bal (v \ jobb) \ ln \ bal (v + 1 \ jobb) – { \ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ bal (v + 1 \ jobb)} {v} \, \ mathrm {d} v = \ ln \ bal (v \ jobb) \ ln \ bal (v + 1 \ jobbra) + \ operátor neve {Li } \_2 \ bal (-v \ jobb)
Most megoldjuk: {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v \ right)} {v-1} \, \ mathrm { d} v
Helyettesítse a w = v-1 \ longrightarrow \ mathrm {d} v = \ mathrm {d} w
= {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ balra (w + 1 \ jobbra)} {w} \, \ mathrm {d} w
Ez megint egy dilogaritmus: = – \ operátornév {Li} \_2 \ left (-w \ right )
És mivel w = v-1: = – \ operátor neve {Li} \_2 \ bal (1-v \ jobb)
Csatlakoztassa a megoldott integrálokat: – \ class {steps -node} {\ cssId {steps-node-8} {\ dfrac {1} {2}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {v \ ln \ bal (v \ jobb)} {v ^ 2 + 1 } \, \ mathrm {d} v + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-9} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v \ right)} {v + 1} \, \ mathrm {d} v + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-10} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ bal (v \ jobb)} {v-1} \, \ mathrm {d} v = – \ dfrac {\ ln \ bal (v \ jobb) \ ln \ bal (v ^ 2 + 1 \ jobb)} {4} – \ dfrac {\ operátornév {Li} \_2 \ bal (-v ^ 2 \ jobb)} {8} + \ dfrac {\ ln \ bal (v \ jobb) \ ln \ bal (v + 1 \ jobb)} {4} + \ dfrac {\ operátor neve {Li} \_2 \ bal (-v \ jobb)} {4} – \ dfrac {\ operátor neve {Li} \_2 \ bal (1-v \jobb )} {4}
A v = \ mathrm {e} ^ u helyettesítésének visszavonása, a \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ u \ right) = u használata:
= – \ dfrac {u \ ln \ balra (\ mathrm {e} ^ {2u} +1 \ jobbra)} {4} – \ dfrac {\ operátornév {Li} \_2 \ balra (- \ mathrm {e} ^ {2u} \ right)} {8} + \ dfrac {u \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ u + 1 \ right)} {4} + \ dfrac {\ operátornév {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ u \ right)} {4} – \ dfrac {\ operátornév {Li} \_2 \ bal (1- \ mathrm {e} ^ u \ right)} {4}
Csatlakoztassa ismét a megoldott integrálokat: – {\ displaystyle \ int} \ dfrac {u \ mathrm {e} ^ {2u}} {\ mathrm {e} ^ {4u} -1} \, \ mathrm {d} u = \ dfrac {u \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {2u} +1 \ right)} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {2u} \ jobbra)} {8} – \ dfrac {u \ ln \ balra (\ mathrm {e} ^ u + 1 \ jobbra)} {4} – \ dfrac {\ operátornév {Li} \_2 \ balra (- \ mathrm {e } ^ u \ right)} {4} + \ dfrac {\ operátornév {Li} \_2 \ bal (1- \ mathrm {e} ^ u \ right)} {4}
Mivel u = \ mathrm {i} x: = \ dfrac {\ mathrm {i} x \ ln \ balra (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ jobbra)} {4} + \ dfrac {\ operátor neve {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {8} – \ dfrac {\ mathrm {i} x \ ln \ left (\ mathrm {e } ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ jobbra)} {4} – \ dfrac {\ operátornév {Li} \_2 \ l eft (- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ jobbra)} {4} + \ dfrac {\ operátornév {Li} \_2 \ balra (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i } x} \ right)} {4}
Csatlakoztassa a megoldott integrálokat: \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-12} {2 \ mathrm {i}}} {\ cdot} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} – \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x = – \ dfrac {x \ ln \ balra (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ jobbra)} {2} + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operátor neve {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {4} + \ dfrac {x \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ jobbra)} {2} – \ dfrac {\ mathrm {i} \ kezelőnév {Li} \_2 \ balra (- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ jobbra) } {2} + \ dfrac {\ mathrm {i} \ kezelőnév {Li} \_2 \ bal (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ jobb)} {2}
Csatlakoztassa a megoldott integrálokat: \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-13} {2}} {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d } x = -x \ ln \ balra (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ jobbra) + \ dfrac {\ mathrm {i} \ kezelőnév {Li} \_2 \ balra (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {2} + x \ ln \ bal (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ jobb) – \ mathrm {i} \ kezelőnév {Li} \_2 \ bal (- \ mathrm {e} ^ { \ mathrm {i} x} \ right) + \ mathrm {i} \ operátornév {Li} \_2 \ bal (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ jobb)
Mindössze annyit kell tennünk, hogy az abszolút érték függvényt alkalmazzuk a logaritmusfüggvények argumentumain, hogy kibővítsük az antiderivatív tartományt:
{\ displaystyle \ int} 2x \ csc \ left (2x \ right ) \, \ mathrm {d} x = -x \ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right) + x \ ln \ left ( \ left | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right) + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ jobbra)} {2} – \ mathrm {i} \ kezelőnév {Li} \_2 \ balra (- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ jobbra) + \ mathrm {i} \ operátornév {Li} \_2 \ bal (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ jobb) + C \ Rightarrow \ dobozos {\ dfrac {\ mathrm {i} \ bal (\ operátornév {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right) -2 \ operatorname {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right) +2 \ operatorname {Li} \_2 \ left (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right) \ right)} {2} -x \ left ( \ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right) – \ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm { i} x} +1 \ jobb | \ jobb) \ jobb) + C}