Legjobb válasz
Tudom, mit kér, de kérjük, ismerje meg az írásmódokat. Cos (1/2) betűvel kell írni.
A kérdés megválaszolásához itt számológépet kell használnia. Ezt semmiképp nem tudom kézzel kiszámolni. Egy másik dolog az érték radiánban vagy fokban kifejezve. Itt mindkettőt megadom. Ez fokokban 0,99996, radiánokban pedig 0,8775.
Válasz
Jó néhány ember ideges, ha valaki azt állítja, hogy 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Nem tartozom ezek közé az emberek közé, de úgy gondolom , hogy ha ilyen követelésbe kezd, akkor nagyon tisztában kell lennie a fejében amire gondolsz.
Általában, amikor az a\_n elemek végtelen összegét definiálod, a következőképpen definiálod:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Ha a korlát létezik és véges értéke van, akkor azt mondjuk, hogy a végtelen összeg konvergál , és azt mondjuk, hogy megegyezik az említett határértékkel. Így például:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Azonban rengeteg végtelen összeg van, amely eltér egymástól , és ezekhez általában nem rendelünk értéket. ennek:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {nem létezik.}
Lehet is ellenőrizze, hogy:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
amely nem konvergál — így az 1 + 2 + 3 + sorozat A 4 + \ ldots eltér, ezért a szokásos korlátdefiníció nem rendel hozzá értéket.
Azonban létezik módja annak, hogy kiterjesztheti ezt a meghatározást. Vagyis előállhat olyan módszerekkel, hogy véges értéket rendeljünk a divergens sorokhoz, amelyek még mindig egyetértenek azokkal az értékekkel, amelyeket a konvergens sorozatok szokásos módon kapunk.
A probléma az, hogy mivel ezek a módszerek, természetüknél fogva valójában nem felelnek meg semmi fizikainak *, ezért a legjobb, amit remélhetünk, hogy az ilyen módszereknek szép formai tulajdonságaik vannak. Különösen azt szeretnénk kérni, hogy megfeleljenek a következő axiómáknak:
1.) (Rendszeresség) Ha \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n konvergens, akkor az összegzési módszer egyetért a a határérték bevételének szokásos módszere.
2.) (Lineárisság) Ha \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A és \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B összegezhető , akkor \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Ha r valós szám, akkor \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3. (Stabilitás) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Ezek az axiómák nagyon hasznosak. Például azt mutatja, hogy minden olyan összegzési módszernél, amely kielégíti ezt a három axiómát, 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1 értéket kell adnia, mivel:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Vegye figyelembe, hogy a linearitás és a stabilitás egyaránt fontos szerepet játszik ebben a bizonyításban. A stabilitás lehetővé teszi számunkra, hogy “kihúzzuk” az 1-t elöl, és a linearitás lehetővé teszi számunkra a 2-es kiszámítását.
Minden ilyen összegzési módszernek ki kell értékelnie az 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. A bizonyítás hasonló:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Léteznek azonban olyan divergens sorok, amelyeket egyetlen olyan összegzési módszerrel sem lehet értékelni, amely kielégíti ezt a három axiómát. Tegyük fel például, hogy véges s értéket rendelhetünk az 1 + 1 + 1 + \ ldotsorozathoz. Akkor:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Hoppá. Sajnos még rosszabbá válik, mert ebből az következik, hogy egyetlen olyan összegzési módszer sem tudja értékelni az 1 + 2 + 3 + \ ldotokat, amely kielégíti ezt a három axiómát, mivel:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (stabilitással) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (linearitás szerint)
Tehát, ha olyan összegzési módszert akar meghatározni, amely kiértékeli az 1 + 2 + 3 + \ ldotokat, akkor vagy ki kell dobnia a linearitást vagy a stabilitást. Különböző megközelítések léteznek – egyesek feláldozzák az egyiket, mások feláldozzák a másikat.
Ez sajnos arra utal, hogy a divergens sorok összegzése hogyan halad: sokféle módszered van ezek összegzésére, és nem mindig egyetértek. Gyakran egyetértenek fontos sorozatokkal kapcsolatban, de ha valami olyasmit állítasz, mint 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, akkor jobb, ha teljesen egyértelművé teszed, hogy milyen összegzési módszert használsz véletlenül.
Számelméleti szakemberként a kedvenc megközelítésem a zéta függvények szabályozása. Ennek alapvető példája a következő: vegye figyelembe a Riemann zeta függvényt \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Ez a képlet csak akkor konvergens, ha s valós része nagyobb, mint 1.Van azonban egy szabványos módszer a Riemann zeta függvény kiterjesztésére, hogy a teljes komplex sík függvénye legyen (nos, van néhány pólusod, de bár ez fontos, ez technikai kérdés) — ezt nevezzük analitikusnak folytatás, amelyet kifejezetten a zeta függvény funkcionális egyenletének megkeresésével nyer.
Az analitikus folytatással azt találja, hogy \ zeta (-1) = -1/12. De ha ezt „bekapcsolja” a zeta függvény eredeti kifejezésébe, akkor a következőt kapja:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
A zeta függvény szabályozása így működik: társít egy zeta függvényt a sorozatához , majd az analitikus folytatással társítson véges értéket a sorozathoz.
Ez sok szempontból hivatalos játék, amely bár érdekes, de valószínűleg nem szabad úgy gondolni, hogy valami kézzelfoghatónak felel meg.
* Igen, tisztában vagyok azzal, hogy a divergens sorok és az integrálok a kvantumtérelmélet számításai során szoktak lenni. Azt állítom azonban, hogy az ilyen módszerek sokkal inkább egy számítási eszköz , mint a tényleges folyamat fizikai értelmezése. Ezenkívül ezen a ponton nincs matematikailag szigorú modellje a kvantumtérelméletnek, így minden furcsa kimérát, amelyet nem szabad, még értelmezhetünk vagy teljesen eltávolíthatunk.