Legjobb válasz
A Del operátor segítségével meg lehet találni egy vektor deriváltját. Lehet, hogy ismeri a skalárfüggvények származékának megtalálását, amelyet valamilyen formában képviselhet
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f “(x)
ahol f (x) az x függvénye, az f “(x) a származéka, és \ frac {d} {dx} az a kifejezés, amely azt mondja, hogy először vegyük a deriváltat. A \ frac {d} {dx} kifejezésre úgy gondolhat, mint a „derivatív operátorra”, mert azt mondja, hogy vegyen egy származékot a mellette lévő dologról.
Most ezt is meg akarjuk csinálni a vektorok esetében, amelyek leggyakrabban a derékszögű koordinátákban vannak ábrázolva (x, y és z függvények). Miért? Mivel sok fizikai jelenség (például elektromos vagy gravitációs tér) vektorként írható le, és ennek a jelenségnek (és így a deriváltaknak) a változásai fontosak.
Tehát hogyan vesszük egy vektor deriváltját ? A Del operátort használjuk. Mivel vektorokkal akarjuk használni, ezért magának vektornak kell lennie. És mivel mindhárom derékszögű koordinátára szeretnénk használni, és nem csak x-re, akkor több betűje lesz. Végül a Del operátor nagyon hasonlít a fenti „derivált operátorra”, de még néhány kifejezéssel:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ részleges x } + {\ hat y} \ frac {\ részleges} {\ részleges y} + {\ hat z} \ frac {\ részleges} {\ részleges z}
A \ nabla nevet Del Operator, bár a szimbólum hivatalosan „nabla”; Őszintén szólva csak arra tanítottak, hogy fejjel lefelé deltának hívták! Amellett, hogy x-hez csak derivatívát alkalmazunk, mostantól részleges származékokat is veszünk y és z vonatkozásában. Ha részleges deriváltat veszünk, akkor csak az összes változót kezeljük állandóként, és a deriváltat a választott változónk szempontjából vesszük.
Mivel kétféle módon lehet megsokszorozni a vektorokat, természetesen kapunk kétféle módszer egy vektorszármazék felvételére. A vektorok szorzásának két módja a pont szorzat és a kereszttermék használata. “; minden szorzás eredménye egy skalárérték, illetve egy vektorérték.
A dot szorzatot használó példa az elektromos tér divergenciájának kiszámítása:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Itt egy deriváltat veszünk a dot szorzat felhasználásával, és megmarad a skaláris értéke {\ rho} \_v, amely a térfogat töltési sűrűsége egy régió.
A kereszttermék használatára példa az elektromos tér görbületének kiszámítása:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Itt egy deriváltat veszünk a kereszttermék felhasználásával, és megmarad a \ mathbf {B} vektorérték (pontosabban annak időszármazéka).
A Del Operator azonban a vektorokon kívül is hasznos. Ha a Del Operator-t csak három különböző dolog összegeként kezeljük, akkor megszorozhatjuk valamilyen skaláris függvénnyel, és ez a függvény eloszlik az egész dologban:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ részleges f (x, y, z)} {\ részleges x} + {\ kalap y} \ frac {\ részleges f (x, y, z)} {\ részleges y} + {\ hat z} \ frac {\ részleges f (x, y, z)} {\ részleges z}
Ebben az esetben a skalárt vektorokká alakítottuk! Ez a skaláris függvény „gradiensének” felvétele. Mit csinál, megmondja, hogy a függvény melyik irányban változik a leggyorsabban. Ezt gyakran használják a lehetséges mezők esetében, amelyek a következő formában fordulnak elő:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
ahol a \ mathbf {U} egy potenciális energia (például rugó vagy gravitáció), F pedig az erő, amely abból a mezőből történő elhelyezésből származik. Ez még mindig vektorszármazék, amit korábban a Del Operator-nak írtunk le, csak egy skalár vektorszármazéka a vektor vektorszármazéka helyett. Igen, ezek is léteznek!
És ez folytatódik. Lehet, hogy látta a {\ nabla} ^ 2 kifejezést; ez laplakiaként ismert, és olyan dolgokban is látható, mint a hullámegyenlet. Lényegében csak kétszer egymás után használja a Del Operator programot. Kiterjeszthető más, több változóval rendelkező koordináta-rendszerekbe, vagy csökkenthető két vagy egy dimenzióra. Ez egy nagyon fontos fogalom, és a fizika szinte minden ágában felhasználható!
Válasz
A del operátor (más néven nabla) a következőképpen definiálható derékszögű koordinátákban :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partitális {\ részleges x} \ hat {i} + \ frac {\ részleges} {\ részleges y} \ hat {j} + \ frac {\ részleges} {\ részleges z} \ hat {k}
Ami a fizikai jelentőséget illeti?
A del operátor egy téri származék vektor-számítás ekvivalenseként működik. A del operátorral három típusú származék van társítva. Tegyük fel, hogy az A vektor, a \ phi pedig egy skalár.
A színátmenet: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x} \ hat {i} + \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y} \ kalap {j} + \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges z} \ kalap {k}
A divergencia: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ részleges A\_x} {\ részleges x} + \ frac {\ részleges A\_y} {\ részleges y} + \ frac {\ részleges A\_z} {\ részleges z}
A göndör: göndör (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ részleges} {\ részleges x} & \ frac {\ részleges} {\ részleges y} & \ frac {\ részleges} {\ részleges z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ vége {vmatrix}
Az ilyen típusú származékok mindegyikének érdekes tulajdonságai vannak, amelyeket maga is googlizhat.
Remélem, ez segít!
Megjegyzés: Mindezek az egyenletek különböznek más koordinátarendszerekben (pl. Gömb, Hengeres) . Vigyázzon!