Legjobb válasz
Egyszerűen fogalmazva, az Invariant olyan tulajdonság, amely még átalakítás vagy bármilyen matematikai művelet után sem változik. Nagyon jó példa a Wikipedia-
Vegyük Newton gravitációs törvényének esetét. Két test közötti gravitációs erő a világegyetem bárhol azonos lesz. E két test közötti gravitációs erő ma ugyanaz lesz, mint ezer évvel ezelőtt. Függetlenül attól, hogy milyen irányba mozgatja ezeket a testeket, az erő ugyanaz. Ez egy példa az invariánsra.
A stresszinvariánsok egy olyan stresszmátrix tulajdonságai, amelyeket az átalakulás nem befolyásol. A stresszállapot mátrixban ábrázolható. Ennek a mátrixnak a hidrosztatikus stressz-összetevője megegyezik a mátrix átlós terminusainak átlagával (Főfeszültségek). Ezeknek az átlós kifejezéseknek az összegzését nevezzük Első Változónak (más néven a Mátrix Nyomának).
Tehát feloszthatunk egy mátrix állapotot a hidrosztatikus és a deviátori összegzésként stressz-
Az Eigen-értékek és az Eigen-vektorok meghatározásához az | A – Lamda I | * V = 0. Hasonlóképpen, feszültségállapot esetén a következő egyenletet használjuk, amely hasonló a fenti formához-
nj = Eigen vektor, Sigma = Eigen érték, delta ij = Az azonossági mátrix, amelyet Kronecker delta néven is neveznek. Ez az Identitásmátrix = 1 az átlós helyzetben, ahol i = j, és az összes többi helyen 0-val egyenlő.
Most létrehozhatjuk a következő formát
Ha jól emlékszel, ez a feszültségmátrix deviátor komponense. Az alábbi karakterisztikus egyenletből láthatjuk, hogy az Invariánsok a karakterisztikus egyenletben szereplő stressz-kifejezések együtthatásai.
Ahol I1, I2 és I3 a feszültségmátrix invariánsai.
a. I1 a mátrix nyoma és az átlós tagok összegzése. Első változatlan.
b. I2 a mátrix kiskorúinak összegzése. Második változat.
c. I3 = A mátrix determinánsának értéke. Harmadik változó.
A T ezek mind invariánsok, mert a mátrixon végrehajtott transzformáció ellenére ezek az értékek változatlanok maradnak.
A fenti lépésekben létrehoztuk a deviátor mátrixot, és kitaláltuk, hogy ez J1, és ezt a J1-et 0-val egyenlőnek találták. Amikor J1 = 0, akkor az átlós tagok összege = 0. Tehát ennek átlaga (más néven hidrosztatikus feszültség = 0. Tehát a deviátor komponens hidrosztatikus feszültsége 0-nak felel meg, ami azt jelenti, hogy a TISZTA NYÍLÁS állapota.
Deviatori stressz és invariánsok
Válasz
A stresszt általában másodrendű szimmetrikus tenzorként ábrázolják, amely 3 * 3 mátrixnak tekinthető. Most minden tenzornak van valami ún. az invariánsok, amelyek nem változnak a bázis változásával. Három fő invariáns létezik egy második vagy rendű tenzor számára (a stressz, a feszültség, a tehetetlenségi nyomaték mind ebbe tartozik). Ezek akkor is megmaradnak, ha a b asis megváltozott. Ahhoz, hogy megértsük, mit értünk az alapváltozáson, gondoljunk az anyagi probléma elemi erősségére, ahol megpróbáljuk megtalálni az eredő normális és nyírófeszültségeket egy adott koordinátatengely-halmazra (alapunkra) hajló síkon. Megtehetjük az összes Mohr-kör dolgot, és megtalálhatjuk a feszültségkomponenseket az új alap mentén (új koordinátatengelyek, amelyek meredekek és merőlegesek az emelkedésre). Tehát, ha figyelembe vesszük a feszültségtenzort korábban és most, akkor elemenként változott (mindkettő szimmetrikus ugyan), de a következő mennyiségek változatlanok maradnak
- Mátrixok nyoma
- A mátrixok kofaktorának nyoma
- A mátrixok meghatározója.
Ez három fő „invariáns”.