Mi a képlet vagy rövidítés a faktoriálok összegének megtalálásához?


Legjobb válasz

Sajnos nincs egyszerű módszer. Vannak azonban minták a befejező számjegyekre, bár ez egy másik téma.

Egyébként itt van a képlet: Faktori összegek – a Wolfram MathWorld-től

=

ahol

a exponenciális integrál ,

az E n -funkció ,

a z valós része ,

a gamma függvény és i a képzeletbeli szám .

Válasz

Az ilyen félelmetes számú problémák trükkje a t o találni mintákat.

Először meg kell szabadulnunk mindazoktól a csúf számoktól, amelyek óriási tényezőkben és kitevőkben szerepelnek. Mivel csak az utolsó számjegyet nézzük, minden olyan számjegy, amely elmúlt (tízjegyű, százjegyű stb.), Nem befolyásolja. (Ez azért van, mert az összes többi számjegy értéke mind a 10 szorzata, de mivel a 10> 1 és a 10 minden többszöröse 0-ra végződik, ez nem befolyásolja az egységek számjegyét.)

A legjobb tétünk: kezdeni annak a számnak az egységszámjegyével, , hogy a kitevő (csak az alap) nélkül szerepeljen. Mivel az első néhány tényadót könnyű kiszámítani, mi is ezt tesszük. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320…. Miért folytatják a nullát?

Ennek oka a faktoriális elsődleges faktorizáció . Mint tudják, 10 = 5 \ cdot 2. Ha bármi elsődleges tényezőjének van egy 5 és egy 2 értéke, akkor ez tízes többszöröse (az elosztási tulajdonság alapján). Mivel az alaptíz szám utolsó számjegye (amit használunk) alapvetően az a rész, amely nem osztható 10-gyel, 10-szeres szorzata 0.

Most ismét a faktoriálokat nézzük .

1 = 1

2 = 1 * 2

3 = 1 * 2 * 3

4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3

5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5

A bármi, ami 5-nél magasabb, az 5 többszöröse lesz!, tudod, hogy annak elsődleges tényezője 2 és 5 lesz, tehát ezek mind 0-val végződnek. Hurrá! Most csak az 1 !, 2 !, 3 !, és a 4! -Et kell megvizsgálnunk. Mint már kiszámoltuk, összegük 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, amelynek utolsó számjegye 3-ra végződik.

Most a problémánk 3 ^ 33. Újra próbálunk mintákat keresni. Nézzük meg a 3 néhány hatását!

3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….

Hmmmm. Ciklusban mozog: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 … .. (Megjegyzés: Nem tudom, miért történik ez. Valaki mondja meg, kérem!) És minden olyan kitevő, amely 4-nek többszöröse, egy 1-re végződik, amint láthatja. A 32 a 4 többszöröse, így a 3 ^ 32 1-gyel végződik. Most egyszerűen a ciklus következő számára nézünk: 3! Ezért 3.-ra végződik

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük