Mi a képlete n páratlan szám összegének?


Legjobb válasz

Ennek az összegnek a levezetése hasonló a

\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}

Let

S = 1 + 3 + 5 + \ pont + (2n-1) \ tag * {(1)}

Mivel az összeadás kommutatív, S-t írhatunk fordítva, így

S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ pont + 1 \ tag * {(2)}

E kettő hozzáadása a kifejezésenkénti reprezentációk adnak nekünk

S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ pontok (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}

2S = \ alátét {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n alkalommal}} \ tag * {(4)}

2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}

Innen nyilvánvalóan következik, hogy

S = n ^ {2} \ tag * {(6)}

Ez egy ismert eredmény, amelyet indukcióval bizonyíthatunk, amit most folytatok. Ehhez be kell mutatnunk, hogy

H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ pötty + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ mind n \ be \ mathbb {N} \ tag * {(7)}

(Megjegyzés: A H\_ {0} szót rövidítésként használom a hipotézis állításhoz)

Annak bemutatására, hogy H\_ { A 0} az indukción keresztül érvényes, meg kell mutatnunk, hogy az egyenlőség érvényes az alapesetre, n = 1, és az indukciós esetre, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Az alapeset nyilvánvaló, mivel 1 = 1 ^ {2} = 1, ami megadja nekünk az indukciós esetet.

k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}

k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}

(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}

Úgy látjuk, hogy az egyenlőség érvényes a k + 1-re is, ezáltal annak bizonyítása, hogy H\_ {0} valóban igaz. Így végérvényesen állíthatjuk, hogy a (6) levezetése valóban helyes.

1 + 3 + 5 + \ pont + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}

Válasz

Nézzük és nézzük. Bárki legalább meg tudja figyelni az első néhány példányt, igaz?

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Most felismeri a jobb oldali számokat?

1,4,9,16,25, \ ldots

Igen! a tökéletes négyzetek. 1 \ x 1, 2 \ 2-szer, 3 \ 3-szor, 4 \ x 4-szer és így tovább.

Most van sejtésünk. Tegyük próbára:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

Igen! A hat legkisebb páratlan szám összeadja a 6 ^ 2 értéket, ahogyan azt megjósoltuk. Kipróbálhat még néhányat: működik.

Ha fizikusok vagyunk, itt állunk meg. Megfigyeltük, megfogalmaztunk egy hipotézist, hipotézisünket kísérletileg egyszer és kétszer és százszor teszteltük, mindig működik, kész. Elméletünk helyes, amíg egy kísérlet meg nem cáfolja.

De mi matematikusok vagyunk, nem vagyunk. Bizonyítást igényelünk. És szigorú bizonyítékok vannak erre a szép kis tényre.

De vannak kristálytiszta vizuális bizonyítékok is. Itt van:

SZERKESZTÉS: sokan szigorú igazolást kértek. Itt egy viszonylag egyszerű, amely ebből a vizuális bizonyításból származhat.

Észrevesszük, hogy a páratlan számok: csak az egymást követő négyzetek közötti különbségek, így:

  • 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
  • 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
  • 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
  • 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2

és így tovább. Ezért ha összeadjuk őket, akkor az utolsó négyzet kivételével minden törlődik:

1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2

Tehát írjuk ezt most hivatalosan, ha tetszőleges számú páratlan számot adunk hozzá. k,

2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2

és ezért az első n páratlan szám összege, amely

\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1

egyenlő:

\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük