Legjobb válasz
Nehéz egyet választani, ezért hagyom, hogy válasszon 🙂
- Euler azonossága
Az egyenlet öt matematika legfontosabb számát ötvözi Ezek a következők:
- 1 – az összes többi szám alapja
- 0 – a semmi fogalma
- pi – a kört meghatározó szám
- e – az exponenciális növekedés alapjául szolgáló szám
- i – a -1 képzeletbeli négyzetgyöke
2. Einstein mezőegyenlete ( a tíz egyenlet összefoglalása)
A fizikus John Wheeler tömören összefoglalta: “A tér-idő megmondja az anyagnak, hogyan kell mozogni ; az anyag megmondja a tér-időnek, hogyan kell görbülni. “
Einstein egyenlete meg tudja mondani, hogyan változott univerzumunk az idők során, és bepillantást enged a legkorábbi pillanatba s a teremtés. Nem meglepő, hogy sok tudós kedvence.
3. Hullámegyenlet
A hullámegyenlet leírja a hullámok terjedését. Mindenféle hullámra vonatkozik, a vízhullámoktól a hangokig és a rezgésekig, sőt a fény- és rádióhullámokig is. érdekében létfontosságú alkalmazásai lehetnek más területeken. Szépsége e tulajdonságok kombinációjából adódik: elegancia, meglepetés, intellektuális mélység, hasznosság.
4. A logisztikai térkép
A logisztikai térkép a káoszelmélet egyik klasszikus példája.
Ez a következőképpen foglalhatók össze: nagyon egyszerű szabályok nagyon összetettek lehetnek.
Az egyenlet számos természetes folyamat modellezésére használható, például arra, hogy az állatok populációja hogyan növekszik és zsugorodik az idő múlásával.
A populáció viselkedése rendkívül érzékeny az r értékére, ellentmondásos módon. Ha r értéke 0 és 1 között van, akkor a populáció mindig meghal, de ha 1 és 3 között van, akkor a populáció megközelíti a rögzített értéket – és ha ez meghaladja a 3,56995 értéket, akkor a populáció vadul kiszámíthatatlanná válik. “kaotikusnak” írják le a matematikusok, és nem ösztönző elvárásokra számítunk. De mindannyian egy matematikailag meglehetősen egyszerű egyenletből származnak.
Ez most van.
Ha úgy gondolja, hogy elmulasztottam valamilyen egyenletet, akkor kérem, mondja meg, hogy ” Hozzáadom a válaszhoz 🙂
Válasz
Nagyon sok alapvető számítási problémát látok, amelyek a PEMDAS-t érintik itt, de ez az elemi matematika Azok az emberek 99\% -a, akik azt hiszik, hogy igazán jók a matematikában, helytállhatnak. Észrevettem Bob Hock egyenletét is, amely nagyon kreatív, de nem hiszem, hogy ennyire nehéz bizonyítani.
A probléma, amelyet ide teszek fel, a 2006-os AIME II 15. feladat, nagyon bonyolultnak tűnik, de egy kreatív kapcsolat révén egészen egyszerűvé válik:
Tekintettel arra, hogy x, y és z valós számok, amelyek kielégítik
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
és hogy x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, ahol m és n pozitív egész szám, n pedig nem osztható egyetlen prím négyzetével, keresse meg az m + n
Első pillantásra megoldunk egy algebrai feladatot, amelyben meg kell találnunk az összeget. Első gondolat lehet az egyenletek négyzetbe helyezése a négyzetgyökök bizonyos mértékű megszabadulása érdekében, de egy ilyen módszer egyértelműen rendetlen.
Észrevéve, hogy nem kell megoldanunk x, y mindegyikét , z külön-külön, és csak az összegükre van szükségük, fontolóra vehetjük a három megadott egyenlet hozzáadását, ami
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Megvan, amit szükség van az egyik oldalon, de a másik oldal nem úgy néz ki, mintha bármi is lemondana, ezért ez nem tűnik helyesnek.
A harmadik ötlet az lenne, ha a négyzetgyök belsejében lévő kifejezést négyzetkülönbséggel számolnánk mivel az adott törtek mind tökéletes négyzetek. Ez megadja
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
stb., de még így sincs egyértelmű út a tényezőket bármilyen hasznos módon manipulálni. Röviden: megpróbálhatunk egyszerre egy változóra megoldást találni, de erre nincs egyértelmű módszer.
Kiderült, hogy a probléma legjobb megoldása a geometriai gondolkodás. Emlékezzünk vissza Pythagoreanus-tételre, miszerint az a, b és c hipotenusz lábakkal ellátott derékszögű háromszögben a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Ezzel manipulálhatjuk az a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2} értéket. Pontosan ez a formája az egyenletek RHS-jének.
Ha ezzel a felismeréssel háromszöget rajzolunk, akkor az első egyenletből két derékszögű háromszöget alkothatunk \ frac {1} {4} magassággal, valamint y és z hipotenuszokkal. x egyenlő minden derékszögű háromszög harmadik hosszának összegével. Ha hagyjuk, hogy a derékszögű háromszögek magassága megegyezzen a \ frac {1} {4} hosszúságú szegmenssel, akkor egy nagyobb háromszöget alkotunk, amelynek oldalhossza x, y, z és magassága \ frac {1} {4} az x oldalon.
Folytatva a második és a harmadik egyenlet azonos gondolatát, azt kapjuk, hogy a háromszög magassága y és z oldalon \ frac {1} {5} és \ frac {1} {6}. A háromszög területegyenletéből megkapjuk a következőt:
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {és} y = \ frac {5} {6} z
Továbbá Heron képletéből , kapunk
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Helyettesítve z-ben a többi terület képletével, ez egyszerűbbé
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Így
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
tehát m + n = 2 + 7 = \ dobozos {9}