Legjobb válasz
Mindig megpróbálhat kiszámolni néhány kisebb kitevőt, és megismétlődő mintát találhat a maradékokra . Számítsuk ki a 2 ^ n fennmaradó részét osztva 18-val, kezdve n = 1-vel:
- n = 1, 2 ^ 1 = 2, a maradék 2;
- n = 2, 2 ^ 2 = 4, a maradék 4;
- n = 3, 2 ^ 3 = 8, a maradék 8;
- n = 4, 2 ^ 4 = 16 a maradék 16;
- n = 5, 2 ^ 5 = 32, a maradék 14;
- n = 6, 2 ^ 6 = 64, a maradék 10;
- n = 7, 2 ^ 7 = 128, a maradék 2;
- n = 8, 2 ^ 8 = 256, a maradék 4;
- \ cdots \ cdots
Valójában, ha az exponensek nagyobbak lesznek, akkor nem kell kiszámolni a 2 tényleges hatványait; ehelyett csak meg kell szorozni az előző maradékot 2-vel, majd megtalálni az új maradékot az eredményből. Világos, hogy a maradék minden 6 számot megismétel. Tehát a 200-as kitevőnél csak megtudjuk a maradékot, amikor a 200-at elosztjuk 6-tal, ami 2. Ezért a maradék, ha 2 ^ {200} el van osztva 18-mal, megegyezik a 2 ^ 2 maradékával, ami megegyezik 4.
Válasz
2 ^ 4 \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implicit (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv (-2 ) ^ 5 \ pmod {18}
\ implicit (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv -32 \ pmod {18}
\ implicit 2 ^ {20} \ equiv 4 \ pmod {18}
\ implicit (2 ^ {20}) ^ 5 \ equiv 4 ^ 5 \ pmod {18}
\ implises (2 ^ {100}) \ equiv 1024 \ pmod {18}
\ implies (2 ^ {100}) \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implises (2 ^ {200}) \ equiv (-2) ^ 2 \ pmod {18}
\ implies (2 ^ {200}) \ equiv 4 \ pmod {18}
\ text {Ezért a 4. a maradék amikor} \, 2 ^ {200} \, \ text {el van osztva 18-val}