Legjobb válasz
\ frac {d} {dx} nem “dolog”. Úgy kell gondolni rá, mintha egy művelet vagy művelet, vagy egy bemenetet felvevő függvény neve lenne. [1]
Ha az f (x) függvény, akkor érdemes lehet hajtsa végre a differenciálás műveletét ezen a funkción; a művelet egyik módja \ frac {d} {dx} f (x). Ez azt jelenti, hogy f (x) az input az x-rel való differenciálás működéséhez.
Nyelvtanilag tehát a \ frac {d} {dx} nem “teljes mondat” , vagy akár önálló főnév. Inkább olyan, mint egy ige, amelynek közvetlen objektumra van szüksége. Ez a közvetlen objektum lehet az x bármelyik függvénye – különösen, ha y az x függvénye, akkor \ frac {d} {dx} y van értelme írni . Angolul ez a kifejezés azt jelenti, hogy “az x deriváltjának a x-tiszteletben tartásával történő eredményének az eredményét”. A rövidség érdekében ezt általában \ frac {dy} {dx} néven írjuk, de amíg nem érzed jól magad a \ frac {d} {dx} jelölést, javaslom, hogy továbbra is írd le a differenciálási művelet bevitelét jobbra, ahogy én tettem.
A második kérdésedre: a láncszabály a függvények összetételének származékának kiszámításának módszere.
[1] Igen, tudom, a függvények is dolgok.
Válasz
Legyen f a függvény:
(1) \ balra (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ jobbra) \ mapsto f \ balra (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ jobb) ahol x\_ {1} = x\_ {1} \ bal (t \ jobb), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ bal (t \ jobb)
Legyen “s kiszámítja \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Az (1) megkülönböztetésével a következőket kapjuk:
(2) df = \ frac {\ részleges f} {\ részleges x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ részleges f } {\ részleges x\_ {n}} dx\_ {n}
Ha mindkét oldalt elosztjuk dt-vel, akkor az eredmény:
df = \ frac {\ részleges f} {\ részleges x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ részleges f} {\ részleges x\_ {1}} \ frac {\ szöveg {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Megkapjuk a végeredményt:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ részleges f} {\ részleges x\_ {1}} x “\_ {1} (t) + … + \ frac {\ részleges f} {\ részleges x\_ {n}} x “\_ {n} (t) Ez a levezetés a többváltozós függvény differenciáldefiníciójának meghatározásával történik ((2) egyenlet).
Tehát hogyan kaptuk meg ezt a definíciót? Lássuk először, hogyan definiálhatjuk, hogy az f egy bizonyos ponton megkülönböztethető-e.
Ha megmutathatjuk, hogy az f függvény teljes különbsége az A pontban így néz ki: háromszög f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ háromszög x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
ahol p\_ {k} valamilyen numerikus együttható, Az \ omega olyan függvény, amelynek \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 és \ rho (X, A) az euklideszi távolság A és X között, akkor azt mondjuk, hogy Az f függvény az A pontban megkülönböztethető.
Most még egy tételre lesz szükségünk:
A (z) \ omega (X) \ rho (X, A) kifejezés a következőképpen írható:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Bizonyítás:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ balra (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ bal (x\_ {k} -a\_ {k} \ jobb) \ jobb)
mivel | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), mert | x\_ {k} -a\_ {k} | az él d \ rho (X, A) a derékszögű párhuzamos átlója, a törtet \ epsilon\_ {k} (X) -nek vehetjük.
Most még csak egy tételre van szükségünk ahhoz, hogy a differenciálhoz jussunk. Ez a tétel szükséges feltételeket ad meg nekünk a függvény differenciáljának megadásához.
Ha az f függvény megadható az A pontban differenciálódnak, akkor részleges különbségek vannak abban a pontban, és igaz, hogy:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ részleges f} {\ részleges x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Bizonyítás:
Mivel azt mondtuk, hogy f megkülönböztethető az A pontban, megírhatjuk:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Mondjuk azt, hogy az n-1 változók itt állandóak, és csak egy változtatást engedünk meg apránként. Például: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, megkapjuk:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. A bal oldalon különbség van az x\_ {1} vonatkozásában. Ha mindkét oldalt elosztjuk x\_ {1} -a\_ {1} = \ háromszöggel x\_ {1} kapunk:
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Most, ha x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , azaz \ háromszög x\_ {1} \ mapsto 0, a bal oldalon részleges differenciál van az x\_-hez képest {1}, a jobb oldalon pedig p\_ {1} marad, mert azt mondtuk, hogy \ omega (X) \ mapsto 0. Könnyen belátható, hogy ugyanaz az eredmény érvényes, függetlenül attól, hogy melyik változót változtatjuk meg, ezért bebizonyítottuk ezt a tételt. Innen megvan, hogy
df = \ frac {\ részleges f} {\ részleges x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ részleges f} {\ részleges x\_ { n}} dx\_ {n}, amellyel megtaláltuk a megoldást.