Legjobb válasz
Az elektromágneses sugárzás (radiometria) esetében ez egy megvilágítás koncentrációja vagy hullámhosszának függvénye (radiometrikus kilépés).
A sugárzási intenzitás és a fényáram vagy a fény észlelt ereje a spektrális eloszlás példái.
A forrásból származó látható spektrum spektrális teljesítményeloszlásának relatív SPD koncentrációja változó lehet. Például a nap relatív spektrális teljesítményeloszlása fehér megjelenést eredményez, ha közvetlenül megfigyeljük, de amikor a napfény megvilágítja a Föld légkörét, az ég normál nappali körülmények között kéknek tűnik.
Az SPD is egy érzékelő válaszának meghatározásához egy meghatározott hullámhosszon.
Remélem tetszett ez a válasz! Kérjük, szavazzon és kövessen engem 🙂
Válasz
Talán ez hasznos, ha először figyelembe veszi a következő megtévesztően elemi kérdést:
Kérdés: Mi a diagonalizálható mátrixok kvalitatív, nem algebrai tulajdonsága, megkülönböztetve őket a nem átlósítható mátrixoktól? (Felejtsd el, hogy az átlósítást egyelőre egységes-e.) ez a lebutított kérdés azzal kezdődik, hogy megfigyeljük, hogy az átlós mátrixok a következők
Az átlósítható mátrixok polinomiuma: Ha A diagonalizálható mátrix, és P valódi polinom, akkor P (A) csak a P P (lamda) értékétől függ az A. saját lamda értékénél.
Itt a következőt használjuk:
A polinom mátrixra történő alkalmazásának meghatározása: Ha P (x) polinom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
és A egy mátrix, akkor definiáljuk
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
ahol én vagyok az identitásmátrix, és ahol a kitevőket mátrixszorzás segítségével alakítjuk ki.
A diagonalizálható mátrixok ezen polinom tulajdonságát bebizonyíthatja az A átlósításával, és megnézheti, mi történik, ha felveszi átlós mátrix polinomja.
Átlósítható mátrix esetén kiterjeszthető a függvények mátrixokra történő alkalmazásának fogalma a polinomoktól az önkényes fu-kig. a következő
Definíció (diagonalizálható mátrixok funkcionális számítása, inelegáns forma) segítségével: Legyen A átlósítható mátrix, és legyen f az A. sajátértékeinek valós vagy komplex értékű függvénye. Ekkor f (A) a mátrix
f (A) = M f (D) M ^ -1,
ahol
A = MDM ^ -1
A átlója D átlóval és M megfordíthatóval, és ahol f (D) képződik az D by f (lamda).
Példa: Legyen f (x) = x ^ (1/3) kocka gyökér függvényt, és legyen A átlósítható mátrix. Ekkor a C = f (A) valójában A kockaköve: C ^ 3 = A.
Példa: Ha A nem szinguláris és átlósítható, és f (x) = 1 / x, akkor f (A) az A inverz mátrixa.
Példa: Ha A átlósítható és f (x) = exp (x), akkor f (A) az A mátrix exponenciája, amelyet a szokásos Taylor-sorozat ad meg:
exp (A) = I + A + A ^ 2/2 + A ^ 3/3! + …..
Ha látni szeretné, hogy az f (A) definíciója jól definiálható (azaz független az átlósítástól), és hogy hogyan kell eljárni nem átlósítható esetben, hasznos f (A) át definiálása az A átló számára a következő formában:
Alternatív meghatározás (átlósítható mátrixok funkcionális számítása, jobb forma): Legyen A átlós mátrix, és f legyen az A sajátértékeinek valós vagy komplex értékű függvénye. Ezután f (A) = P (A), ahol P egy polinom, amelyet úgy választunk meg, hogy f (lamda) = P (lamda) az A minden egyes sajátértékértékű lamdájához.
Különösen nem kell egy mátrixot valóban átlósítani, hogy kiszámítsuk a mátrix f (A) függvényét: f interpolációja a Az A egy polinomot ad, amely elegendő az f (A) kiszámításához.
Most mi történik, ha A nem átlósítható? Nos, ha a komplex számokon dolgozunk, akkor a Jordan normál forma azt mondja, hogy megfelelő alap megválasztásával az ilyen mátrix blokk-átlós mátrixként írható fel, Jordan Blocks Jn közvetlen összege, mint
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
ahol Jn szorongó mátrix, némi a komplex számmal rendelkezik az átlón és 1 “s lánccal az átló felett. Vegye figyelembe, hogy az Mn mindegyik esetben egyetlen egyszeres a n.
Ezen Jordan-blokkok egyike sem lehet átlósítható, mivel a következő tétel szerint Jordan Blocks nem osztja meg az átlós mátrixok polinom tulajdonságát :
Tétel: (A polinomok hatása a Jordan-blokkokra) Legyen P egy legyen polinom, és Jn legyen a fenti formájú nxn Jordan-blokk. Ekkor P (J) csak P (a) -tól és annak első n deriváltjától függ IE
P (J2) = P (a) P “(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P “(a) P” “(a) / 2 0 P (a) P” (a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P “(a) P” “(a) / 2! P” “(a) / 3! 0 P (a) P “(a) P” “(a) / 2! 0 0 P (a ) P “(a) 0 0 0 P (a)
és így tovább.
A fenti Tételt ellenőrizhetjük úgy, hogy ellenőrizzük, hogy vannak-e monomálisok, majd kiterjesztjük azokat a polinomokra, amelyek csak monomális lineáris kombinációi.
Annak érdekében, hogy lássa, ez hogyan kapcsolódik a mátrixok számítási funkcióihoz, vegye figyelembe a következő problémát, amely a kocka gyökér függvényt alkalmazza a mátrixokra:
Probléma (mátrixok kocka gyökerei): Legyen A egy nem szinguláris mxm valós vagy komplex mátrix. Keressen egy A = C ^ A ^ (1/3) kocka gyökeret, ez egy C mátrix, amely A = C ^ 3.
Két megoldást adunk: Az első a Jordan alakjának kifejezett kiszámítását jelenti. az A mátrix, a második pedig csak a Jordan forma létezését használja, kifejezett számítás nélkül.
1. megoldás: a Jordan forma , az A mátrixot Jordánia blokkjaivá bonthatjuk a Jn blokk alapján az alap megválasztásával, ezért a megfontolást arra az esetre korlátozzuk, hogy A = Jn néhány n esetében. Például néhány összetett a szám esetén
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
Most nem nehéz megmutatni, hogy van-e polinom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
úgy, hogy a J3 a a sajátértékénél
P (a) = a ^ (1/3) P “(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P” “(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(Mivel feltételezzük, hogy nincs sajátérték 0, semmi sem végtelen.)
(Az IE P az x -> x ^ 1/3 függvény a másodikig derivált az x = a pontban. A bonyolult esetben van némi kétértelműség az a ^ 1/3 meghatározásában, ezért írtam egy ^ (- 2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2) ennek gondozására, vagyis mind a három képletben ugyanazt a kocka gyökeret használják.) Valójában
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x – a ^ (- 5/3) x ^ 2) / 9,
bár valójában nem volt szükségünk P kiszámítására, mivel a P (J3) általános képletéből a fenti tételben,
P (J3) = a ^ 1/3 1/3 a ^ (- 2/3) -2/9 a ^ (- 5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (- 2/3) 0 0 a ^ (1/3)
Ez csak a J3 kívánt kocka gyökere!
C = P (J3).
Ha látni szeretné ezt a megjegyzést,
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
ahol R (x) a kielégítő polinom
R (x) = (P (x)) ^ 3.
R fontos tulajdonsága, hogy az x pont = a, az R = P ^ 3 polinom megegyezik az x -> x azonossági függvénnyel, a 2. rendû deriváltakig.
R (a) = a R “(a) = 1 R” “(a) = 0,
úgy, hogy a Jordan blokkra alkalmazott polinom általános képletével,
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R “(a) R “” (a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R “(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
igény szerint.
2. megoldás: Ha A mxm mátrix, akkor keressen egy P (x) polinomot úgy, hogy A minden egyes sajátértékénél x = a az m-1 nagyságrendű polinom és származékai megfelelnek a kívánt x -> x ^ 1/3 függvénynek. Ekkor C = P (A) az A kívánt kocka gyökere.
Ne feledje, hogy a 2. megoldás azért működik, mert az A összes Jordan-blokkja kisebb lesz, mint n, és az 1. megoldás szerint a P polinom minden jordán blokkot kocka gyökérrel helyettesít. Mivel nem volt gondunk arra, hogy kifejezetten kiszámoljuk az A jordán alakját, az általunk alkalmazott P polinom feleslegesen nagy lehet, mert nem tudtuk a jordán láncok hosszát. A polinomiális interpoláció azonban valószínűleg nem volt annyi munka, mint a Jordan forma kiszámítása. (Ezen kívül így elkerültük a Jordan formához kapcsolódó numerikus instabilitást és degenerált sajátértékeket.)
A kocka példája A root a következő meghatározást hívja meg:
Definíció (a Dunford-számítás változata véges dimenziós esetben) : Legyen A önálló legyen f valós vagy komplex függvény, amelynek tartománya tartalmazza az A sajátértékeit. Ezután
f (A) = P (A),
ahol P (x) van olyan polinom, hogy minden egyes sajátértéknél x = a
P (a) = f (a) P “(a) = f” (a) P “” (a) = f “” (a ) …………
ahol az egyeztetett származékok száma legalább akkora, mint a Jordan saját blokkjában az a “sajátértéknek megfelelő 1” s legnagyobb lánc.
Megállapítható, hogy az x-> 1 / x függvénynek az A mátrixra való alkalmazásának eredménye valójában az A szokásos inverz mátrixa. Azt is ellenőrizhetjük, hogy az exponenciális függvény ill. a szinuszfüggvény az A mátrixra megegyezik a megfelelő Taylor-sor exp vagy sin alkalmazásával az A mátrixra.
A függvénynek egy mátrixra való alkalmazását “funkcionális számításnak” nevezzük. ezért hívják a dunfordi számítást “kalkulusnak”.
A dunfordi számítás definíciójában szabványos követelmény, hogy f összetett származékokkal rendelkezzen, és ezt általában a végtelen dimenziós esetekben a Cauchy-integrálképlet segítségével definiáljuk. Átvágtam mindezt, hogy csak az egyszerű véges dimenziós esetet magyarázzam, és félreértettem, hogy elmagyarázzam, mi a függvény származéka a komplex számoktól a komplex számokig. (Szerencsére az x-> x ^ (1/3) függvény végtelenül megkülönböztethető a nem nulla valóságokon.) Lehet, hogy itt vannak finomságok, de megpróbálok gyors áttekintést adni a fogalmakról.
Ezért nyilvánvaló, hogy bizonyos értelemben a jordán alak lényegében a Dunford-számítás, a spektrumtétel pedig az önadjunkt operátorok funkcionális számítása. (Ez utóbbi az a nézőpont, amelyet Reed és Simon a “Methods of Matematikai fizika I: Funkcionális elemzés. Ez a vita csak véges dimenziós, de Reed és Simon a végtelen dimenziós esetet veszi figyelembe.)
Mindenesetre az a következmény, hogy az átlósíthatóság összefügg a felvétel fogalmaival mátrixok funkciói. Ezt nevezzük funkcionális számításnak, és különféle funkcionális számítások léteznek.
Most az önadjunkitás valamivel mélyebb, mert ez egységes diagonalizálhatóságot jelent, nem csak a diagonalizálhatóságot. Az eigensűrök merőlegessé válnak. Nem gondoltam egy jó módszert arra, hogy elmagyarázzam, mi az, ami ebben az intuitívan döntő jelentőségű. Azonban a kvantummechanikában az ortogonális eigensűrök tökéletesen megkülönböztethetők, és az önadjunkció természetes állapotgá válik. A hidrogénatom spektruma csak a Hamilton-operátorának sajátértékei.
Azon túlmenően, hogy valami intuitív magyarázattal álljak elő arról, hogy a kvantummechanika miért foglal magában ilyen matematikát.