Legjobb válasz
A 2. rangú kontravariantikus tenzor szimmetrikus, ha az indexei permutációja alatt invariáns. Összetevői az indexek cseréje után nem változnak, és kielégítik a következőket:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Hasonlóképpen, a 2. rangú kovariáns tenzor szimmetrikus ha invariáns indexei permutációja alatt, és összetevői kielégítik a következőket:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
A 2. rangú tenzorokat általában mátrixok képviselhetik. , tehát egy tenzor szimmetriája lényegében összefügg az őt képviselő mátrix szimmetriájával. Ismeretes, hogy ha egy szimmetrikus (négyzet) mátrix bejegyzéseit A = (a\_ {pq}) -ként fejezzük ki, akkor a\_ {pq} = a\_ {qp} az összes p és q index esetében. A szimmetrikus mátrix megegyezik az átültetésével ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
A második rangú szimmetrikus tenzorok példái közé tartozik a g \_ {\ mu \ nu} metrikus tenzor , vagy a Cauchy-féle feszültségtenzor ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}), amely mátrix formában a következőképpen írható:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {mátrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {mátrix}} \ jobb] \ equiv \ bal [{\ begin {mátrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {mátrix}} \ right]}
Ha például magasabb rangú tenzorunk van a következő formában:
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
a tenzorról azt mondják, hogy szimmetrikus m-ben és p-ben.
Olyan tenzor, amely szimmetrikus bármely két ellentmondásos és bármely két kovariáns index szimmetrikusnak mondható.
A tenzort ferdeszimmetrikusnak vagy antiszimmetrikusnak nevezzük, ha
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
Általános esetben egy szimmetrikus tenzor egy tenzor, amely invariáns vektor argumentumainak permutációja alatt:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
minden permutációhoz σ az {1, 2, …, r } szimbólumok közül. Alternatív megoldásként a rend vagy rang szimmetrikus tenzora r , koordinátákban ábrázolva, mennyiségként r indexek kielégítik
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Válasz
A mátrixok téglalap alakú tömbök valamilyen mezőből (általában \ mathbb {R} vagy \ mathbb {C}, de nem mindig), és szorzás művelete egy másik mátrixszal és szorzás egy meghatározott mezőel.
A mátrixokat sokféle dolog ábrázolására használják:
- lineáris egyenletek együtthatói
- lineáris transzformációk (adott rendezett alapvektor-halmaz adott)
- vektorterek alapváltozása (adott két rendezett alapvektor-halmaz)
- tenzorok (konkrétan 2. sorrend) tenzorok)
- bizonyos csoportok
- stb.
E felhasználások némelyike összezavarodhat: adott egy nem nyelvű négyzetmátrix összefüggés nélkül, lehetetlen megmondani, hogy megnézzük, ha lineáris transzformációt (vagy milyen alapon) képvisel, alapváltozást vagy tenzort képvisel.
Röviden: a mátrixok nagyon általánosak.
A tenzorok a vektorok és a funkcionálisok (kettős vektorok) több vonalas funkcionális elemei. Más szavakkal, az n + m sorrendű tenzor egy olyan függvény n vektoron és m kettős vektoron, amely valós vagy komplex számot ad vissza, és minden argumentumánál lineáris.
Tenzorok véges dimenziós vektortereken n + m-dimenziós elrendezéssel ábrázolhatók a vektortér mezejéből, és 2 sorrendű tenzorok esetében ez gyakran mátrixként jelenik meg. A lineáris transzformációk mátrixábrázolásához hasonlóan a tenzor többdimenziós tömbábrázolása is függ az alkalmazott bázistól.
A tenzorokat gyakran leírják, használják, és néha még definiálta a mezőelemek többdimenziós tömbjei szempontjából, azzal a korlátozással, hogy a tenzor hogyan alakul át az alapvektorok differenciális változásai tekintetében. De a szívükben több vonalas funkcionálisok a vektorokon és lineáris funkcionálisok.