Legjobb válasz
Ha nem akarjuk használni a trigonometrikus táblázatokat, akkor hozzávetőleges \ tan 27 értéket kaphatunk ^ o a \ tan x Taylor-bővítésének használatával.
A valós vagy komplex értékű f (x) függvény Taylor-sorozatát, amely végtelenül differenciálható egy valós vagy komplex a számnál, a
f (x) = \ sum \ limit\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, ahol Az f ^ {(n)} (a) az n ^ {th} derivált értéke x = a értéknél.
Ne feledje, hogy a szöget radiánban kell kifejezni.
Legyen f (x) = \ tan x és a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radián.
\ Rightarrow \ qquad f “(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ bal (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3}, és,
\ qquad f “” (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ bal (\ frac {\ pi} {6} \ jobb) \ tan \ bal (\ frac {\ pi} {6} \ jobb) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
A \ tan 27 ^ o = \ értékét szeretnénk tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Ezután a Taylor-sorozat első két tagját felhasználva megkapjuk ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0,507537.
Ebben az értékben a hiba -0,3902 \\%.
Csak az első három kifejezés használata a Taylor-sorozatból kapjuk,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f “” (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ bal (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ kb \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
Ebben az értékben a hiba értéke -0.1831 \\%.
Ha nagyobb pontosságot akarunk, akkor több kifejezést is használhatunk.