Legjobb válasz
Ezt geometrikusan is megközelíthetjük. Három megoldás létezik, ezek a következők: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° és 1 / \_240 ° poláris formában. Figyelembe kell vennünk a komplex számok tartományát. (jelenleg nem tudok diagramokat adni, ezért elnézést kérek). Nagyon hasznos lenne toll és papír használata a válasz elolvasása közben.
Megjegyzés: A „/ \_” a „szöget” jelenti. A szöget az óramutató járásával ellentétes irányban mérjük a pozitív valós tengelyhez képest (pozitív x tengely). Ezenkívül a 0 ° megegyezik a 360 ° -kal, a 720 ° -val és így tovább. Bármely angle szög megegyezik a θ + 360 ° szöggel.
Geometriai szempontból, ha az összetett síkon 1-et 1 + 0i (1,0) -ként képviseljük; ez egyenlő 1 / \_ 0 ° vagy 1 / \_360 ° poláris formában. Rajzolhatnánk egy egység kört, amelynek középpontja a kezdőpont 0,0. Ha elosztjuk a 360 ° -os (vagy 2π radián) kört 3 egyenlő részre, megkapjuk a három szükséges gyökeret.
Az első gyök 1 / \_0 ° vagy / \_360 ° fokon. [Ha 3 teljes fordulatszámot (360 °) teszek az (1,0) óramutató járásával ellentétes irányba (háromszor vagy kockával megszorozva önmagával), ugyanabba a pontba érkezem: 1 / \_0 °. Ne feledje: Ha 3 „nincs fordulat” (0 °). Én is ugyanahhoz a ponthoz érkezem!]
A másik két gyökért illetően:
- 1 / \_0 ° -tól indulva, ha 1/3-at (egyharmad vagy 120 °) fordulattal az óramutató járásával ellentétes irányban (az egyik szorozva 1 / \_120 ° -kal), elérem az 1 / \_120 ° -ot, amely a második gyökér. Ha még két fordulat 1/3-át teszem meg onnan, akkor ismét elérem az 1 / \_360 ° -ot, azaz az 1 / \_ 0 ° -ot. (tehát három 1/3 vagy 120 ° -os fordulatot hajtottam végre, vagy kockáztattam). Ennélfogva az 1 / \_120 ° kocka szintén 1.
- 1 / \_0 ° -tól kezdve, ha 2/3-át (240 °) megfordulok, akkor 1 / \_240 ° -ra jutok, ami a harmadik gyökér, ha még egy 2/3-os fordulatot elérek, akkor 1 / \_480 ° -ra, azaz 1 / \_120 ° -ra érek, és még egy újabb 2/3-os fordulattal 1 / \_720 ° -ra, azaz vissza \_0 °. így három 2/3-os vagy 240 ° -os fordulatot hajtottam végre, vagy kockáztattam). Ezért az 1 / \_240 ° kocka szintén 1.
A gyökerek 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. 120 ° -kal elválasztva egyformán az egység körön.
Átalakíthatja az értékeket téglalap alakúra, és láthatja, hogy a válaszok megegyeznek a mások által adott válaszokkal.
Általában a n. gyök, az egység kört n egyenlő részre osztjuk, vagy egyenlő távolságra 360 / n ° szögre, és a gyökerek a kör külső határán helyezkednek el. Tehát, mivel 360/5 = 72 °, az egység ötödik gyökere a következő: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Válasz
Hagyja, hogy z ilyen z ^ 3 = 1
legyen a legfontosabb lépés, ne vegye mindkét oldal kocka gyökerét, különben hiányozni fog 2 gyökér. Inkább írja át az egyenletet:
z ^ 3–1 = 0
bal oldali tényező
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 két összetett gyökérrel rendelkezik:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)