Legjobb válasz
Csábító az írás
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Akkor írhatunk
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Ez az összeg:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Ez az egész nem tetszik annyira egy párnak okokból. Először figyelmen kívül hagyja azt a kérdést, hogy hány \ sqrt {i} érték van.
A valós számra alkalmazott gyöket főértékként definiáltuk, így az y = \ sqrt {x} függvény . A komplex négyzetgyök fő értéke összetettebb (olyan szabály, mint a legkevésbé nem negatív szög), és nem működik olyan jól.
Véleményem szerint az a legjobb, ha azt mondjuk, hogy két négyzetgyökünk van . Az \ sqrt {i} többértékű, ugyanaz, mint az i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
A második problémám az exponenciális megfogalmazással az azonnali ugrás a polárkoordinátákra. Automatikusan kanyargós utat választunk, amely transzcendentális funkciókat és fordítottjaikat foglalja magában. A komplex szám négyzetgyöke nem igényli ezt. Ellenőrizhetjük
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
ahol nem szabványos \ textrm kell {sgn} (0) = + 1.
A = 0, b = 1 van, így
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Nem szükségesek triggerműveletek. Hasonlóképpen a = 0, b = -1 ad
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Úgy tűnik, hogy az összeg négy lehetséges értékek:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Határozzuk meg a zárójeles értékeket.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
tehát valóban négy értékünk van, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Ezt úgy írhatjuk, hogy
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad az egész k számra
Még egy kérdést figyelembe kell venni. Néha, amikor konjugátumnak tűnő kifejezéseket írunk, ez azt jelenti, hogy ha több értéket veszünk figyelembe, akkor a konjugált kapcsolat fennmarad. Ilyen például a depressziós kocka:
x ^ 3 + 3px = 2q rendelkezik megoldásokkal
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Mindegyik kocka gyökérnek három értéke van a komplex számok felett. De magának a kockának csak három megoldása van. Tehát bár kísértésbe eshet, hogy ezt a kifejezést kilenc különböző értékként értelmezzük, tudjuk, hogy ez csak három. A két kocka gyök konjugátumnak szánták, ezért azokat önmagukban kell párosítani.
Ebben az értelmezésben mindig konjugátumokat adunk hozzá, így csak az igazi megoldásokat kapjuk:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} vagy (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } ami \ pm \ sqrt {2}.
Végül, ha a gyököt főértékként értelmezzük, akkor az \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} értéket kapjuk első kvadrátot kell választanunk, és a \ sqrt {-i} főértékét a második és a negyedik negyed között kell választanunk. A „legkevésbé pozitív szög” szabály a második négyzetet javasolja, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} tehát
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Kicsit rendetlenség, ezek a különböző értelmezések.
Válasz
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {és} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega is az egység harmadik gyöke: z ^ 3 = 1.
Ennek az egyenletnek a gyökerei a következők: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Megvan: u ^ 3 = 2 + 2i és (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Tehát:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {}};; k \ -vel {0,1,2}
Tehát:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Megkapjuk:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3