Legjobb válasz
Itt 2 választ találhatunk erre a kérdésre.
- -1/12
- Végtelen
Egyértelműen \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n eltér egymástól. De akkor miért válaszolnak egyesek -1 / 12-re? Mivel mindkettő helyes.
Ez a fizikai elméletek megértésében elengedhetetlen fogalom, a törvényszerűsítés egyik legegyszerűbb példája. Az abszurdnak tűnő -1 / 12-es szám fizikai értelmezést tartalmaz az úgynevezett Kázmér-energiában.
Gyakran, amikor a fizikai mennyiségeket kvantumelméletekben próbáljuk kiszámítani, végtelenséget kapunk. Ezen a ponton csak eldobhatjuk a választ, de ez sehová sem vezet bennünket. Alternatív megoldásként megpróbálhatunk értelmet nyerni belőle. Ehhez megpróbálunk véges választ kivonni a végtelenből. Ezt a folyamatot szabályozásnak nevezzük. A divergens sorok (vagy integrálok) szisztematikus rendszeresítésének számos módja lehet, de a fontos szempont az, hogy ezek a módszerek ugyanazt a véges eredményt adják. Különösen a fenti összeg mindig adna nekünk -1/12. Ez önmagában azt sugallja, hogy a -1/12 nem teljesen abszurd.
A következő beszélgetés elsősorban a Birrel és Davies – Kvantumterek az ívelt térben című 4.1 szakaszból származik. Bemutatom a vita lényegét.
Tegyük fel, hogy egy tömeg nélküli skaláris mezőt tekintünk 2 dimenzióban (egy idő irányban és egy térben). A tömeg nélküli skaláris mező nagyon hasonlít az elektromágneses mezőre, de sokkal egyszerűbb. Ezenkívül korlátozzuk a skaláris mezőt egy L kerületi körre. Most meghatároztunk egy kvantum rendszert, és megpróbálhatunk különböző mennyiségeket kiszámítani, beleértve a rendszer minimális / alapállapotú energiáját. Az alapállapot energiája E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Mostantól szabályosíthatjuk ezt az integrált és megkapjuk E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). A fontos pont az, hogy pontosan ezt fogjuk kapni, ha megpróbáljuk kiszámítani a különbséget a rendszer alapállapotú energiája és egy másik hasonló rendszer között, ahol a skaláris mező korlátlan hosszúságú vonalon van korlátozva (ami lényegében a a kör végtelen legyen). Nyilvánvaló, hogy ez a szabályozott energia fizikai mennyiség, és valójában a laboratóriumban mérhető. nem érvénytelen.
Szerkesztés:
A követés az egyik módja az összeg rendezésének.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alfa \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
A fenti korlát a várakozásoknak megfelelően eltér , de az alábbiak szerint írható
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Így kapunk egy szabályosított véges részt a divergens összegzésből. Az összeg rendszeresítésének módja korántsem egyedi, de az összeg véges része mindig -1/12.
Válasz
Mit értünk „van” vagy “egyenlőség”? Ez az a kérdés, amely megalapozza a zavart az összes természetes szám összegével kapcsolatban.
Véges összegek
Nem “Nincs probléma a véges összegekkel:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
A
tökéletesen jól definiálható az a\_i \ in \ mathbb R bármely szekvenciájához. Az összeadás kommutativitásának és asszociativitásának köszönhetően nem is függ az a\_i sorrendje: bármilyen permutációban megkeverheti a szekvenciát anélkül, hogy befolyásolná az eredményt.
Végtelen sorozat
Amikor azonban végtelen szekvenciákhoz jutunk, (a\_i), mit is jelent a végtelen összeg? Mi az a ?
A legegyszerűbb, legbiztonságosabb és alapértelmezett jelentése a véges összegek korlátja . Ez a végtelen összeg definíciója
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Amikor ez a sorozat konvergál, minden rendben és rendben van. A következőket teheti:
- támaszkodhat az eredményre;
- keverheti a kifejezések sorrendjét;
- két ilyen sorozatot hozzáadhat vagy kivonhat; és még
- két beágyazott összegzés sorrendjét is megváltoztathatja.
De ha a sorozat divergens vagy csak feltételesen konvergens az érték:
- nem létezhet;
- függhet a sorrendtől; vagy
- előfordulhat, hogy „divatos módszerekre” van szükség a meghatározásához
, és sem nem manipulálhatja a a szekvencia és nem ad hozzá / von le két ilyen szekvenciát.
Ez a helyzet a természetes számok összegével, ahol
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Ez egyértelműen elválik a + \ infty-tól, mint n \ to \ infty, ezért a standard alapértelmezett érték nem létezik. És ez a legtöbben mennek kell.
Díszes módszerek
Ha nem teljesen, akkor közelről, értsd meg mindennek a pontos jelentését, és minden bizonnyal ne lépj tovább a „divatos módszerekre”. Ugyanígy kell kezelnie mindazokat, akik a nem abszolút konvergens szekvenciákat manipulálják, mintha nullával osztanák őket: az eredmények ugyanolyan megbízhatóak.
Van egy tökéletesen tiszteletre méltó végtelen sorozat, az úgynevezett Dirichlet sorozat :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Ha az (a\_n) határolt, ez a sorozat abszolút konvergál minden olyan s \ in \ mathbb C esetén, amelynek valós része szigorúan egynél nagyobb, \ Re (s)> 1. A \ Re (s) \ leq1 esetében kevésbé szilárd talajon vagyunk …
Analitikus folytatás
Mivel f ( s) egy analitikus függvény , amelyet a nyitott félsíkon definiálunk \ Re (s)> 1-gyel, lényegében egyedi analitikus folytatás a Komplex sík többi részére. A folytatás, amikor minden a\_n egy, f\_1 (s), a Riemann Zeta függvény :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
ahol \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x a Gamma függvény , a Factorial függvény analitikus kiterjesztése.
\ Re (s)> 1 esetén \ zeta (s) = f\_1 (s).
For s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb nem konvergál
Ha most zeta függvény szabályozásának nevezett dolgot szeretné megtenni, akkor állíthat állíthat
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
de vegye figyelembe, hogy azon fáradozik, hogy mit jelent az „egyenlőség” és mit jelent az összegzés.
Ez minden rendben van, de ha idáig eljutott, akkor észrevette, hogy mennyit kell tudd megérteni, hogy mit csinálsz. Sokkal többet, mint általában egy Numberphile-videón …