Legjobb válasz
Egy példa segítségével elmagyarázza. Az ábrán az ábrán látható módon rácsos tartó van feltöltve és megtámasztva. A mi érdekünk az, hogy megismerjük a rácsos tagok reakcióit és erőit. A reakciók és a tagokban lévő erők nemcsak az alkalmazott erők nagyságától és irányától, hanem azok helyétől, azaz az alkalmazási pontoktól is függenek. Az űrdiagram gondoskodik az erők alkalmazási pontjáról és a rácsos szerkezet geometriájáról.
A fenti ábra csak azért, hogy megkapja a reakciókat. Az alkalmazott P\_1 erő ab és a P\_2 erő bc a vektordiagramon. Az R\_1 reakció egyenlő da-val, az R\_2 reakció pedig egyenlő a cd-vel a vektordiagramon.
A térdiagrammal és a vektordiagrammal folytathatjuk az összes tag erőinek kiszámítását. Itt nem csak azért tettük, hogy az ábra nagyon egyszerűen érthető legyen.
Az egyensúly feltétele teljesül, amikor a vektordiagram és a sikló sokszög bezárul.
Válasz
nem teljesen világos, mit jelent itt a „pozíciók”, de úgy gondolom, hogy a válasz az lehet, hogy a vektoroknak nincsenek pozícióik, de a vektorközöknek lehetnek pozícióik, és ez a két ötlet lefedi az alkalmazásokat.
I Itt feltételezem, hogy a kérdésben a „helyzetesség” hiánya arra utal, hogy az azonos hosszúságú és irányú párhuzamos „nyilak” ugyanazt a vektort képviselik. Ennek az egyezménynek számos oka van.
- Az alapvető vektorhasználat egyik alapgondolata a elmozdulás fogalma. , amely szintén a sebesség, a gyorsulás és az (F = ma révén) erő forrása. Az elmozdulásoknak nincs helyzetük, sokkal inkább minden helyzetben van egy adott irányú és nagyságrendű elmozdulás. Ha azt mondjuk, hogy „haladjon tíz mérföldre északnyugatra”, akkor ez egy elmozdítási utasítás, amely mindenhol érvényes, és nem csak egy adott hely.
- A elmozdulások kombinálhatók, de csak akkor, ha a második elmozdulás ott kezdődik, ahol az első véget ér. . Ha az elmozdulásokat nyilakkal ábrázolják, akkor a kombinált elmozdulás eléréséhez az egyik nyilat le kell fordítani annak érdekében, hogy a kombinált elmozduláshoz farok-fej konfiguráció jusson. Természetesen ennek nem lenne értelme, ha a lefordított nyíl továbbra sem ugyanazt az elmozdulást jelentené.
- Az erők viselkedésének tapasztalata megköveteli az erő nyilainak körbefordítását, mivel az erők szempontjából az objektumok úgy viselkednek, mintha teljes tömegük a súlypontjukra koncentrálódna, és minden erő ezen a ponton hatna. (Óvakodtam itt a dőlt betűs nyelvemmel, mivel valami más történik, amikor a nyomatékokat bevezetik!)
Az összes ilyen helyzetet lefedő matematikai absztrakció a vektortér. Ha bárhol elhelyezkedő nyilakra van szükségünk, akkor ekvivalencia relációt vetünk ki a nyilak halmazára, ekkor két nyilat teszünk ekvivalenssé, ha párhuzamosak és azonos irányúak. (Az „ugyanazon irány” intuitív tartalommal rendelkezik, amelyet kissé trükkös szisztematikussá tenni.) Egy vektor ekkor lesz a nyilak, és a vektorok összeadásának ekvivalenciaosztályát úgy határozzuk meg, hogy „kényelmes” osztályképviselőket veszünk fel, és hozzáadjuk őket akár a farok-fej vagy a paralelogramma törvényen keresztül.
Az ekvivalenciaosztályok használata és képviselőik egyáltalán nem tűnhetnek különösnek; pontosan ezt csináljuk a törtekkel. A „tört” az a / b (b \ ne 0) szimbólumok ekvivalenciaosztályának tekinthető az a / b \ equiv (na) / (nb) ekvivalencia reláció alatt. Amikor két „frakciót” akarunk hozzáadni, akkor a megfelelő ekvivalenciaosztályokról gyökerezünk, amíg két azonos nevezővel rendelkező képviselőt nem találunk, majd hozzáadjuk a számlálókat. A vektor hozzáadása nagyon hasonló ehhez. Sőt, a törtekkel van egy „előnyben részesített” osztály képviselői csoport, a törtek „a legkisebb értelemben”. A vektorok esetében létezik a „preferált” képviselõi osztály is, azok a vektorok, amelyeknek farka az eredeténél található, és ezekrõl gondolják a vektortér elvont elemeit, amikor a nyíl analógia játszik.
Most vannak olyan helyzetek, amikor nagyon fontos, hogy hol van a nyíl, a nyíl mozgatásának nincs értelme, és a különböző pontokon elhelyezkedő nyilakat nem lehet és nem is szabad hozzáadni. Ilyen példa a szélsebességet a különböző helyeken megjelenítő nyilakkal ellátott időjárási térkép. A korábban említett nyomatékok szintén példák; az erő helyzete a súlyponthoz viszonyítva számít, és az erő nyíl nem fordítható le egy másik pontra anélkül, hogy megváltoztatná a keletkező nyomatékot. (Egyébként vegye figyelembe, hogy a nyomatékok maguk is vektorok, mint amennyit hozzá lehet adni.) Általános skála szerint egy skaláris mező gradiens mezője nyilakból áll, amelyek meghatározott helyekre vannak rögzítve és nem önkényesen fordíthatók.
Ezeknek a helyzetfüggő vektoroknak az elemi megfigyelése az, hogy a szokásos vektor űrtörvények (összeadás és skaláris szorzás) továbbra is érvényesek az összes vektorra, egyetlen rögzített helyzetben . Ez azt mondja nekünk, hogy a helyzetfüggő gondok „megoldása” az, ha egy teljes vektorteret helyezünk el a kérdéses tér minden pontján. A kapott terek általában tangens tereknek hívják, mivel egy pont érintőtere az összes ponton átmenő paraméterezett útvonal sebességvektorának halmazának tekinthető (feltételezve, hogy a a leírás értelme).
Az összes érintőtér gyűjteményét érintőnek köteg, és most, ha a helyed minden pontján helyzetfüggő vektorra van szükséged, akkor a térből az érintőkötegbe egy térképre van szükséged, amely pontosan egy vektort választ ki minden érintőtérben különálló pontok; egy ilyen térképet a csomag szakaszának , az így kapott helyzetfüggő vektorok gyűjteményét pedig vektor mező az eredeti téren.
Ily módon megkaphatjuk a tortánkat és megesszük; a vektorok nem rendelkeznek „pozíciókkal”, a vektorterek viszont igen.