Legjobb válasz
a nyom, mivel egy mátrix átlós bejegyzéseinek összege könnyen megtanulható és könnyen érthető. Azonban “t (a priori) nem rendelkezik szép geometriai vagy más értelmezéssel – csak egy számítási eszköznek tűnik. Ebből a szempontból támadás alapvetően azt jelenti, hogy elakadt olyan tények számítási bizonyításai mellett, mint a tr (AB) = tr (BA).
Ezek önmagukban nem “t rosszak . Könnyen érthetőek, és minden bizonnyal mit kell megmutatni, ha valaki kezdetben lineáris algebrát tanul. Van egy mélyebb oka annak, hogy miért tr (AB) = tr (BA), de ez elég absztrakt, és különösen a tenzor szorzatot igényli annak megértéséhez.
Vegye figyelembe a lineáris operátorok terét egy vektorból V tér vissza magához. Ha egy adott koordináta-készletet választunk, akkor az ilyen operátorok négyzetmátrixoknak fognak kinézni. Azonban arra törekszünk, hogy a koordinátákat minél jobban elkerüljük.
V ^ * -val jelöljük a V kettős terét, amely a V-on lévő lineáris funkcionálok tere, vagyis lineáris térképek \ lambda oly módon, hogy ha egy v vektort csatlakoztatunk, a \ lambda (v) skalár.
Ha ekkor vesszük a V ^ * \ otimes V tenzor szorzatot, akkor izomorf a V lineáris operátorok számára \ jobbra V. Az izomorfizmus így működik: ha w \ V-ben, akkor (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.
Azt is kitalálhatjuk, hogyan működik a kompozíció ezen izomorfizmus alatt – -emlékezzünk arra, hogy a lineáris térképek összetétele ugyanolyan, mint a megfelelő mátrixok szorzása.
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2
ezért
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)
Most bejön a nyom? Nos, van egy természetes térkép V ^ * \ otimes V-től a skalárok mezejéig, amely így működik: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). A csodálatos dolog az, hogy ha mindent koordinátákban dolgozunk ki, akkor ez a nyom.
Ez azt mutatja, hogy a nyom – távolról sem valami elvont számítási eszköz – valójában egy alapvető és természetes térkép a lineáris algebrában . Különösen a fenti elemzés automatikusan bizonyítja, hogy tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).
De miért erősebb a tr (AB) = tr ( BA) igaz? Nos, számoljuk ki mindkettőt.
tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)
Másrészt:
tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right] = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)
Ah , így az AB a \ lambda\_1, \ lambda\_2 és v\_1, v\_2 párosításnak felel meg egy módon, a BA pedig a másik módon való párosításnak felel meg, de ha egyszer átvesszük a nyomot, akkor párosításra kerülnek ismét , és ekkor már nincs különbség.
Gyönyörű.
Válasz
A \ mbox {tr igazolása } (AB) = \ mbox {tr} (BA) egy egyszerű számítás:
\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =
= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).
Nem vagyok biztos benne, hogy ez megválaszolja-e a kérdés „miért” részét, az „Igen, Úgy látom, hogy a számítás sikerül, de miért ? “.
Nem gyakran lehet megmagyarázni, hogy miért igaz valami. Itt talán hasznos megfigyelni, hogy az AB és a BA valójában sokkal többet oszt meg, mint a nyom: ugyanaz a jellemző polinomjuk van .
Egy másik hasznos megfigyelés az, hogy ha A vagy B nem egyes szám (invertálható), akkor AB és BA hasonló mátrixok, egyszerűen azért, mert ) B.
A hasonló mátrixoknak egyértelműen ugyanazok a sajátértékeik, tehát különösen ugyanaz a nyomuk. Vitathatunk a folytonosság alapján (olyan mezők felett, ahol ennek van értelme) arra a következtetésre jutni, hogy ugyanez vonatkozik az egyes esetekre is.