Legjobb válasz
A spinor csak egy vektor, amely másképp viselkedik forgások és bizonyos más transzformációk alatt .
Ahelyett, hogy általánosságban beszélnék, azt hiszem, sokkal könnyebb a spinerekre gondolni, ha konkrét matematikai példa áll a rendelkezésére. Ez a válasz éppen ezt fogja megtenni. A bevezető lineáris algebrán túl nem feltételezünk matematikai ismereteket.
További technikai bevezetés megtalálható a Steane kiváló bevezetője a témáról, itt teljesebb körű kezeléssel: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Az alábbi ábrák mindegyike az övé. Ha bármi bajom lesz, kérjük, nyugodtan kommenteljen.
Mik a spinorok
Fentebb azt mondtam, hogy a spinerek csak vektorok. Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy rendelkeznek a vektorok összes tulajdonságával:
- összeadhatók,
- szorozva konstans (más néven skalár ),
- létezik olyan, hogy “nulla” spinor,
- és minden spinernek van inverz spinere.
Mehet előre, és adjon hozzá bonyolultabb követelményeket:
- Két spinernek jól definiálható belső szorzata lehet, akárcsak a vektor-szóközöknek.
- A spinernek jelentős hosszúsága lehet, akárcsak egyéb vektorterek.
és így tovább.
A csak követelmény egy olyan spinor számára, amely ezt elkészíti A vektortól különbözik, hogy ha megpróbálja elforgatni, akkor nem kapja meg a várt eredményt – ha megpróbálja elforgatni 360 fokkal , akkor nem ugyanazt a spinert kapja, de forgatva 180 fokkal akarat. Általánosságban elmondható, hogy a \ theta szöggel történő elforgatáshoz a \ theta / 2 szög elforgatási mátrixának használatára van szükség.
Ezt szem előtt tartva itt egy egyszerű spinor képzelhető el, amely a szokásos háromdimenziós euklideszi térben képzelhető el. és amely az összes fent felsorolt tulajdonságot felveszi. Ez a legegyszerűbb spinor, és a fizikusok számára a legismertebb.
Itt van a fenti spinor tökéletesen érvényes matematikai leírása:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Sziasztok az első spinernek!
Gondolkodás a spinorokról: figyelmeztetés
Mielőtt folytatom, észrevesz valamit: az euklideszi tér, mint említettem, háromdimenziós – nekem mégis csak két komponens képviseli a spinoromat! Hogy lehet ez? Nem kell, hogy minden vektornak ugyanannyi komponense legyen, mint az általuk elfoglalt tér mérete?
Az ellentmondás egy mondatban megoldható: a spinorok nem az euklideszi térben élnek – ezek megfelelhetnek az euklideszi térben lévő tárgyaknak, és a velük végzett dolgok az euklideszi térben végzett dolgoknak felelhetnek meg, de ez nem az ő otthonuk.
Az az igazság, hogy a spinnek nincs két összetevője, amint azt fentebb mondtam (ezen a ponton valószínűleg a képernyőre hunyorít, és az orra alatt káromkodik) ). Egy spin nem nem azonos orientációjú, mint egy vektor abban a vektortérben, ahová beletettük – vele objektumokat modellezhetünk egy közönséges vektortérben, mint itt, de egy igazi spinert több paraméter határoz meg, mint egy ilyen térben lévő közönséges vektoré.
Egyszerűen fogalmazva , ahol egy közönséges vektor orientációját éppen r, \ theta, \ phi határozza meg, a spinor orientációját r, \ theta, \ phi, \ alpha és annak jele (amelyet a fenti példában pozitívnak tételezünk fel) – megfelelő módon szólva egy háromdimenziós vektortér négy- dimenzióval ábrázolható spinor (a jel, mivel csak két értéket képes felvenni, dimenzióként is felfogható, de meglehetősen felesleges).
Ezt a spinort négy komponensű vektorként is kiírhatja , minden paraméterhez egyet, előjellel szorozva – vagy használhat egy trükköt, as Megtettem, és úgy teszek, mintha a spinor összetett összetevõkkel rendelkezne, ami lehetõvé teszi számunkra, hogy szépen megírjuk ugyanazt a spinor a fenti ábrázolással, két koordinátával.Ezért látszik, hogy a spinoromnak két komponense van, amikor valóban négy paramétere van és a hozzá tartozó kapcsolódó dimenzió egy háromdimenziós vektortérben: , mert léteznek a spinereink a saját komplex térükben, nem a háromdimenziós vektortérben.
Tehát mielőtt továbblépnék, ne feledje : A spinereknek csak ugyanazzal a térbeli dimenzióval kell rendelkezniük (azaz a térbeli tájolásának megadásához szükséges paraméterekkel), de nem csak ezeknek kell meghatározniuk. Ebben az esetben a spinorom összetevőit komplex értékűként kezelem, ezért írhatom olyan tömören egy kétkomponensű oszlopvektorba – de a spinoroknak több paraméterük lehet és van is, ezért meglehetősen trükkösek valakivel együtt dolgozni.
A való életben nyomatékosan javasoljuk , hogy ne feledje, hogy a spinerek nem igazán “t mellettünk élnek – hasonlóan a fizikához, matematikai absztrakciók , amelyek megkönnyítik az élet dolgát. Minden, amivel valóban történik a háromdimenziós objektumokkal – de a spinerek segítségével modellezhetjük őket, és szebbé tehetjük a matematikát, ezért is csináljuk.
vezesse haza ezt a pontot, vegye figyelembe a következő ábrát:
a jelzőszög jelenléte bonyolítja az olyan egyszerű kérdéseket, mint a forgatás, és mi alkotja az ortogonalitást. Ez egy extra paraméter , és ez minden különbséget jelent.
A spinor ezen páratlan dimenziós volta miatt felmerülő problémák miatt nem csak a szokásos forgatómátrixot használhatja két dimenzióhoz a legismertebbek vagyunk, nevezetesen a mindenütt jelenlévő \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} bármelyik számára szög. Ez helyes lenne egy kétdimenziós vektor esetében, de még a legegyszerűbb spinerek is nem , mivel sokáig mentem arra, hogy rámutassak, kétdimenziósak. Nem használhatja a szokásos háromdimenziós mátrixokat sem – minden bizonnyal lefordíthatja a forgatás hatását ezekre a srácokra, de nem helyes a közvetlenül megszorozza velük a spinert, mert nem tartoznak ugyanabba a térbe.
A forgatók forgatása
A forgást az egyes tengelyek körül a saját speciális forgatómátrixa adja meg, amelyet a egy teljesen más tér , ahol a spinorok ténylegesen élnek (az euklideszi tér helyett). Jelöljük a s forgási mátrixokat \ theta szöggel az x, y, z irányokban mint R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Ezután ,
R\_ {x} = \ kezdődik {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} és \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} és \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Itt a szórakoztató rész: észreveszed hogy ezek a forgási mátrixok a félszöget \ frac {\ theta} {2} hogyan használják a \ theta szöget forgatni?
Igaz! Ez a szögkétszerező jelenség a spinorok jellemzője: még azt is be tudja bizonyítani, hogy a spinor szorzata ezekkel a félszögű mátrixokkal egyenértékű a térbeli rész elforgatásával teljes szög.
És ez “szó szerint ez : minden, amire szükség van tudniuk kell a spinorokról – hogy ők a saját térükön élő vektorok és saját speciális forgási mátrixaik vannak – egyetlen Quora válasz fedi le. Természetesen a legegyszerűbb spinerekre korlátoztam a figyelmemet, de a lényeges jellemzői mind bemutatásra kerülnek. Ha többet szeretne ásni, kérjük, forduljon a (fent linkelt) Steane-hez.
Miért törődünk a spinorokkal
A fonók fontosak, mert kiderül, hogy képesek leírni a a szubatomi részecskéktől elvárt viselkedés. Különösen a részecskék tartoznak a belső szögimpulzushoz, ezt a tulajdonságot pörgetésnek hívjuk (lásd Brian Bi válasza: A szubatomi részecskék pörgése valóban magában foglal-e szögmomentumot) (azaz a részecske valóban * forog *)? a teljes leírásért).A részecskék spinorként történő modellezésével, nem pedig közönséges vektorokként, sikeresen leírhatjuk az ettől a spintől elvárható kölcsönhatást, valamint teljes leírást adhatunk a részecske viselkedéséről – sőt, a spinorok képezik a Dirac-egyenlet alapját, amely felülírja a Schrodinger-egyenletet egy speciális relativitás-kompatibilis hullámegyenlet biztosítása, és ez képezi a kvantumtér-elmélet alapját (a kvantummechanika kiterjesztése az erők leírására).
Válasz
A spinerek olyan geometriai objektumok, amelyek léteznek a valós vektorterekben való életben (ellentétben a bonyolult vagy kvaternionikus vektorterekkel).
Tehát a visszalépéshez a vektor egy objektum, amely a térben létezik, és azt mondják, hogy egy adott irányba mutat. Ez azt jelenti, hogy ha elforgatja a tengelyeit, az alkatrészvektor ugyanúgy változik.
A vektoroknak megvan az a tulajdonsága, hogy ha 360 ° -kal elforgatja őket, ugyanazt az objektumot kapja vissza.
Van egy sor geometriai objektum, amely vektorokból felépíthető. Például vegyen két vektort és szorozva őket együtt, hogy tenzorokat kapjon. Különösen a tehetetlenségi nyomaték egyike. A tenzoroknak megvan az a tulajdonsága, hogy ha 360 “/ N-rel elforgatja őket, akkor ugyanazt az objektumot kapja vissza, és ha 360 ° -os forgatással mindig visszatér ugyanarra az objektumra.
Azokban a terekben, amelyeknek szimmetriacsoportja ortogonális (a valós vektorterekben természetesen felmerülő helyek vannak), vannak más típusú geometriai objektumok is, amelyek nem vektorokból áll. Ennek egyik módja az, hogy ha 360-mal elforgatja őket, akkor “nem kapja vissza ugyanazt az objektumot, hanem az eredeti objektum -1-szerese lesz – ez a “ellenkező irányba.
Ezek furcsa objektumok; ezek az objektumok azonban természetesen leírják a spin 1/2 objektumot a fizikában.
Ezek az objektumok azon furcsa tulajdonság miatt léteznek, hogy az ortogonális szimmetriacsoport kettős kapcsolatban áll. Gazdag matematikai szerkezet van itt, de ezek az objektumok erkölcsileg egy vektor négyzetgyökei – vagyis ha két spinort többszörösen együtt kapsz egy vektort, például két vektor szorzása esetén egy második rangú tenzort kapunk, mint a pillanat tehetetlenségi tenzor.