Legjobb válasz
Csak akkor, ha θ = 0.
Geometriai szempontból nyilvánvaló, hogy bármely 0 közötti 0 esetén és π / 2, 2sinθ a 2θ sugárméretű ív akkordjának hossza az 1 sugarú körben. És mivel az akkord rövidebb, mint az ív, minden ilyen θ esetén sinθ <θ kell rendelkeznünk. És természetesen, ha θ> 1, akkor sinθ . Végül a sinθ <θ minden pozitív θ esetén sinθ> θ minden negatívra vonatkozik.
Még ha a θ fokokban is mérhető, a sinθ nem lehet egyenlő θ, hacsak θ = 0, egyszerűen azért, mert egy ív radiánmértéke a θ fok πθ / 180, ami sokkal kisebb, mint a θ.
Válasz
Szerintem a jobb kérdés az, hogy \ cos \ theta egyenlő 2-vel?
Valószínűleg tudja, hogy nem lehet, ha \ theta a síkgeometriában egy háromszög szöge, mert a derékszögű háromszög hipotenusa hosszabb, mint a hossza, és a szomszédos láb nem lehet kétszerese a hipotenusz hosszának. Hasonlóképpen, ha a \ theta bármilyen valós szám, mert \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Tehát, ha \ theta \ a mathbb R-ben, akkor -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, ezért a \ cos \ theta nem lehet 2.
Azt állítjuk azonban, hogy ha z \ in \ mathbb C, akkor lehetséges \ cos z = 2 esetén. Valóban, a koszinusz komplex analitikus meghatározása \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, ezért másodfokú egyenlettel zárulunk, amelyet remélhetőleg a legtöbben megszoktunk .
Meg akarjuk oldani \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Ha w = e ^ {iz}, akkor ez \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2 lesz, vagy ekvivalensen w ^ 2-4w + 1 = 0. Ezután a másodfokú képletet alkalmazzuk:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Mivel w = e ^ {iz}, akkor felvehetjük a természetes naplót, de óvatos : ahogy a ^ 2 = b ^ 2 nem utal a = b-re (csak a = \ pm b-re utal), az e ^ a = e ^ b nem utal a = b-re, csak azt jelenti, hogy a = b + 2 \ pi ik néhány k \ in \ mathbb Z esetén. Ezért
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ mathbb Z
Ezután egyszerűen megszorozzuk -i-vel, hogy megkapjuk a z értékét:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Végül átírhatjuk a megoldásunkat, megjegyezve, hogy 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, és ezért \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
A \ cos z mint komplex analitikus függvény viselkedése utánozza a trigonometrikus függvényt valós irányban, a hiperbolikus koszinust pedig a képzeletbeli irányban; valójában tudhatja, hogy \ cos (iz) = \ cosh z és \ sin (iz) = i \ sinh z; és ezeknek a tényeknek a koszinuszösszeg-képlettel való összekapcsolása azt eredményezi, hogy \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, x-szel, y \ in \ mathbb R-rel. Ez alternatív módot kínál a válasz. Philip Lloyd nagyszerű diagramot mutat erről: Philip Lloyd válasza a Miért nem lehet egyenlő a téta 2-vel?