Legjobb válasz
2x + y = 5, x – y = 1 egyedi megoldása x = 2, y = 1. A 2x + y = 5, x – y = 1 egyenesek csak egy pontban kereszteznek, vagyis (1,2).
Ha két párhuzamos vonal van, mint pl. x – y = 1 és x – y = 7, akkor nincs megoldás az x – y = 1, x – y = 7 egyenletekre.
Ha 2 egyenlet valójában megegyezik, például x – y = 1,5 x – 5y = 5, akkor az ezen a vonalon található bármely pont olyan megoldás, mint x = 3, y = 2 vagy x = 1000 y = 999, és nincs egyedi megoldás.
Ez kicsit érdekesebbé válik egy olyan helyzetben, amikor 3 változó van, mondjuk x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 egyedi x = 1, y = 1, z = 1 megoldása. A 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 síkok egy és csak egy pontban kereszteznek, vagyis (1,1, 1).
Ha három párhuzamos sík van, például x + y + z = 1, x + y + z = 4 és x + y + z = 8, akkor az x egyenletekre nincs megoldás + y + z = 1, x + y + z = 4 és x + y + z = 8.
Ha az egyik egyenlet két másik lineáris kombinációja, akkor nincs egyedi megoldás. Itt van egy példa 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Nem csak (1,1,1) megoldás, hanem (2,2, -2) és (3, 3, -7). Valójában végtelen sok megoldás létezik.
Ennek az az oka, hogy az egyik egyenlet a többi lineáris kombinációja.
3x + z = 4 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Nagyon sok utalás van erre, de remélhetőleg ez ad némi ötletet arról, hogy milyen egyedi megoldások vannak a lineáris rendszerekben.
Válasz
A válaszom először azt feltételezi, hogy ez egy lineáris egyenletrendszer, a lineáris egyenlőtlenségekkel rendelkező rendszerhez képest.
Rövid válasz – Egymást kizáró opciók: Nincs megoldás, Egyetlen egyedi megoldás vagy végtelen számú megoldás.
Hosszú válasz – A megoldások típusai bizonyos mértékben attól függ, hogy hány egyenlet és hány változó van a lineáris rendszerben, és hogyan szeretné leírni a rendszert.
Algebraically :
- A megoldást nem tartalmazó rendszert inkonzisztens rendszernek . Ez azt jelenti, hogy a változóknak nincs olyan értékkészlete, amely egyszerre oldja meg a rendszer összes egyenletét. A következő rendszer következetlen:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- A pontosan egy megoldással rendelkező rendszert következetes, független rendszernek nevezzük. Következetes, mert létezik megoldás és független, mert mindegyik egyenlet független a többi egyenlettől. Ez azt jelenti, hogy a megoldás változóinak minden értéke független a többi változó értékeitől. Pontosan egy értékkészlet van – változónként egy érték -, amely egyszerre oldja meg a rendszer összes egyenletét. Az alábbiakban következetes, független rendszer (a mathisfun.com webhelyről származik) az x = 5 / span> = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- A végtelenül sok megoldást tartalmazó rendszert következetes, függõ rendszernek nevezzük. Függő, mert a rendszerben legalább egy egyenlet többszöröse egy másik egyenletnek vagy más egyenletek kombinációja. Ez azt jelenti, hogy míg a rendszer többi változójának csak egy értéke van, amely egyidejűleg megoldja az összes rendszert, egy vagy több változó bármilyen értékkel megoldhatja a rendszert. Az alábbiakban következetes, függő rendszer található, amely megoldást tartalmaz