Legjobb válasz
A matematikában valójában nincs általános térmeghatározás. Szinte minden tárgy, amelyre vizuálisan gondolhatunk, térnek nevezhető. A metrikus terek, elosztók, Hilbert-terek, kerekek, sémák, a terek, a valószínűségi terek és a modulus halmazok mérése mindaz, amit térnek nevezünk.
A tér általános definíciójához legközelebb a valószínűség a topológiai tér. Például a metrikus terek, elosztók, Hilbert-terek, kerekek és sémák mind kissé felépítettebb topológiai terek.
A topológiai tér egy pontkészletből, X-ből és egy részhalmazból áll. az X-nek, amelyet „nyitottnak” hívunk, feltéve, hogy
- az üres halmaz és maga X is nyitva van,
- a nyitott halmazok bármely egyesítése nyitott,
- És egy nyitott halmaz metszéspontja nyitott.
A nyitott halmazok állítólag olyanok, mint a \ mathbb {R} nyílt részhalmazai. A homályosság kockázatával a nyitott halmazokra gondolunk, mint az X U részhalmazaira, így az U minden pontját egy kicsit elmozdíthatjuk anélkül, hogy elhagynánk az U-t. Ez szó szerint a \ mathbb {R} esetére vonatkozik, mivel az ott található nyitott halmazok U részhalmazokként vannak definiálva, így az összes x \ esetén U-ban \ epsilon> 0 van, tehát (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ U részhalmaz (azaz x-et kevesebb mint \ epsilon mozgatja) nem eredményez pontot az U-n kívül).
Kiderült, hogy ez a minimális információmennyiség – pontkészlet és nyitott részhalmazok – elegendő ahhoz, hogy megállapítsuk, hogy a függvények folyamatosak-e. Ez igazán hasznossá teszi a topológiai tereket.
Másrészt a matematikában nem minden tér topológiai tér, sőt, ahogy mások is válaszoltak, valamilyen extra struktúrájú pontkészlet. Ezt csodálkoztam, amikor néhány szemeszterrel ezelőtt megtanultam.
Az ellenpélda, amire gondolok, egy modulmodul gondolata, amely (ez furcsává válik!) Egy bizonyos fajta functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, ahol a \ mathcal {D} egyes D objektumainak előképét a folyamatos függvények gyűjteményének tekintik D-től a térig, amelyet F állítólag képvisel.
Mennyire a földön van ez egy tér? Némi intuíció elérése érdekében vegye figyelembe a folyamatos függvények halmazát az egyetlen ponttól egy térből egy topológiai térbe, az X-be. Minden p \ x pontra kapunk egy függvényt, amely az egyetlen pontot p-re viszi. Ebben az értelemben a folytonos függvények halmaza egy ponttól X-ig leírja az X pontjait. Ha valamilyen rajongótól származó függvényeket veszünk figyelembe, mondjuk egy vonalszakaszt, akkor X-be kezdünk képet kapni arról, hogy az X pontjai hogyan kapcsolódnak egymáshoz. egymást – melyeket lehet összekapcsolni egymással egy ösvényen, melyeket közel és melyeket egymástól stb. Ha az összes lehetséges függvénykészletet X-be vesszük, akkor tulajdonképpen arra következtethetünk, hogy pontosan mi az X. Ez egy olyan gondolat, amely a Yoneda Lemma nevet viseli. A modulok veremének ötlete az, hogy ezt metaforaként használják: bármely olyan functort, amely „kinéz”, és leírja a funkciókat topológiai térbe, fel lehet használni a „tér” meghatározására.
Amit hangsúlyozni szeretnék ez: a matematikában sokféle tér létezik, de ha megalapozott képet akarsz kapni arról, hogy mi is egy tér, akkor tanulmányoznod kell a topológiai tereket. Ennek ellenére a dolgok furcsává válnak!
Válasz
Magának az űrnek nincs sok formális meghatározása. Szinte a “dolog” szó matematikai változata. Lehet, hogy egy szorosabb szinonimát “állítanak be”, de az “űr” szó azt jelenti, hogy van valami extra összetevő … valamilyen szerkezet … ami szintén játékban van. Ellenkező esetben “csak a” set “szót kell használni.
Különböző típusú szóközöknek van meghatározása. A vektortér vektorok halmaza, amely követ bizonyos szabályokat. A topológiai tér egy halmaz , valamint egy speciális részhalmazok gyűjteménye amelyek kielégítenek bizonyos szabályokat. A metrikus tér egy halmaz , egy megfelelő képlettel együtt, amely megadja a halmaz pontjai közötti távolságot. Gyakran a speciális szóközök ilyen leíró nevek.
Más típusú tereket azokról az emberekről neveznek el, akik tanulmányozták őket. Banach-terek, Hilbert-terek, Sobolev-terek … ezek mind speciális típusú vektorterek, egy kis extra struktúrával ez a maguk módján érdekessé teszi őket, és olyan emberekről kapta a nevét, akik jelentősek voltak a történet kidolgozásában.