Risposta migliore
Non esiste un modo assoluto per assegnare pendenze a cerchi su una sfera. Nel collegamento fornito dal richiedente, viene impiegata una mappatura chiamata parametrizzazione stereografica: la parametrizzazione stereografica mappa un piano su una sfera, essenzialmente identificando il piano come omeomorfo a una sfera con un unico punto rimosso (quando si utilizzano proiezioni e parametrizzazioni stereografiche, questo spesso chiamato “punto allinfinito” o punto di proiezione).
Una proprietà fondamentale di questa mappatura è che è conforme: conserva gli angoli a cui si intersecano le curve morbide. In particolare, mappa linee rette sul piano su archi geodetici sulla sfera.
Ora, per misurare la pendenza di una linea nel piano, dobbiamo scegliere una linea orientata rispetto alla quale misurare. Questo è tradizionalmente scelto come “asse x” orientato verso destra, perché spesso lavoriamo con grafici tracciati su un asse orizzontale indipendente (e la mia ipotesi è che lorientamento provenga dalla direzione da sinistra a destra della lettura della maggior parte delle lingue occidentali). Lasse che scegliamo determina come verranno misurate le pendenze.
Quindi, una volta scelto lasse, possiamo mapparlo su un grande cerchio sulla sfera, quindi possiamo descrivere linclinazione di un cerchio proiettandolo stereograficamente sullaereo e misurandolo normalmente. Devo sottolineare, tuttavia, che questa non è una funzione generale che mangia geodetiche e sputa numeri! È una funzione che mangia due geodetiche E un punto (quindi sappiamo dove si trova lorigine, o due volte, dove si trova il “punto allinfinito”), e emette un numero che fornisce la pendenza relativa rispetto a un “sistema di riferimento”.
Modifica. Qualcosa mi ha infastidito con questa risposta da quando lho scritta ieri e stamattina è stato fatto clic su un punto importante: molti cerchi sulla sfera sono mappati a cerchi sullaereo e viceversa, poiché le mappe conformi possono scambiare linee e cerchi (notare che entrambe le curve hanno una curvatura costante). Quindi, la pendenza di un cerchio misurata rispetto a un altro cerchio (orientato!), Con un punto base scelto, non avrà senso nel modo in cui descrivo a meno che non siano entrambi mappati su linee sul piano. Questo è vero precisamente quando entrambi i grandi cerchi intersecano il punto allinfinito , e quindi dobbiamo anche richiedere che il punto che scegliamo per la proiezione sia anche un punto di intersezione del cerchi. Se guardi i loro differenziali in quel punto sulla sfera, puoi dedurre la loro pendenza relativa. Se una formula intelligente mi colpisce, mi aggiornerò. Mi scuso per essere sciatto e per aver perso questo!