ベストアンサー
第1種のn番目のチェビシェフ多項式であるT\_n（x）は、
を満たします。 \ cos（n \ theta）= T\_n（\ cos \ theta）
T\_ {10}（x）の後です。最初のいくつかはわかっています：
T\_0（x）= 1 \ quadなぜなら\ quad \ cos（0 \ theta）= 1
T\_1（x）= x \ quadなぜなら\ quad \ cos（1 \ theta）= \ cos \ theta
T\_2（x）= 2x ^ 2-1 \ quadなぜなら、\ quad \ cos（2 \ theta）= 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3（x）= 4x ^ 3-3x \ quadなぜなら、\ quad \ cos（3 \ theta）= 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
2の累乗を簡単に計算できます。
T\_4（x）= T\_2（T\_2（x））= 2（2x ^ 2 -1）^ 2 –1 = 8x ^ 4 -8x ^ 2 + 1
T\_8（x）= T\_2（T\_4（x））= 2（8x ^ 4-8x ^ 2 + 1）^ 2 + 1 = 128 x ^ 8-256 x ^ 6 + 160 x ^ 4-32 x ^ 2 + 3
一般に、T\_ {mn}（x）= T\_m（T\_n（x））は、\ cos（n \ theta）= T\_n（ \ cos \ theta）。
T\_n（x）は繰り返しを満たします
T\_ {n + 1}（x）= 2 x T\_n（x）-T\_ {n-1 }（x）
T\_0（x）とT\_1（x）は整数係数を持っているので、繰り返しはすべてのT\_n（x）が整数係数を持っていることを示します。
繰り返しを導き出しましょう。まず、三角関数のみを使用する代替の合計角度式である三角恒等式を証明します。
\ cos（A + B）+ \ cos（A − B）= \ cos A \ cos B- \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos（A + B）= 2 \ cos A \ cos B- \ cos（AB）
さて、
\ cos（（n + 1）\ theta）= \ cos（n \ theta + \ theta）= 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta- \ cos（（ n-1）\ theta）
またはx = \ cos \ thetaとすると、
T\_ {n + 1}（x）= 2 x T\_n（x）-T\_ {n -1}（x）\ quad \ checkmark
これで、T\_ {10}（x）を非常に簡単に計算できます。
T\_5（x）= 2xT\_4（x）-T\_3（ x）= 2x（8x ^ 4-8x ^ 2 + 1）-（4x ^ 3-3x）= 16 x ^ 5-20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10}（x） = T\_2（T\_5（x））= 2（16 x ^ 5-20 x ^ 3 + 5 x）^ 2-1
T\_ {10}（x）= 512 x ^ {10}- 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6-400 x ^ 4 + 50 x ^ 2-1
これで、ようやく答えが得られました。
\ cos（10 \ theta）= 512 \ cos ^ {10} \ theta-1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta-400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta-1
回答
x = thetaを使用して、入力を簡単にします。
乗算は繰り返されることを忘れないでください。 d追加。
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
cos（10x）を見つける1つの方法は、 2つの角度の合計のコサインの9回の同一性、およびサインの同様の同一性。
cos（A + B）= cos（A）cos（B）-sin（A）sin（ B）
cos（10x）
= cos（9x + x）
= cos（9x）cos（x）-sin（9x）sin（ x）
9xを8x + x
に置き換えてから、すでに問題になっているcos（x）とsin（x）を失うことなく、IDを慎重に再度適用します。
次に、8xが表示されているすべての場所で7x + xに置き換え、IDを再度適用します。
続行します…..
上に向かって作業することをお勧めします。ダウンではなく。
cos（3x）、次にcos（4x）などを見つけます。
作業中に、もっと速い方法があるかどうか自問してください。
式ができたら
cos（2x）
= cos（x + x）
= cos（x）cos（x） –sin（x）sin（x）
cos（4x）をcos（2x + 2x）
およびcos（8x）として考えてみてください
）as cos（4x + 4x）。
次に、cos（10x）as cos（8x）+ cos（2x）。
また、cos（2x）の結果を単純化し、ピタゴラスの恒等式を使用して、結果に正弦を含まないコサインのみの問題を維持したいと考えています。