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式cos（A + B）= Cos A cos B-sin A sin B、 cos2xの式を取得します。
つまり、Cos 2x = Cos（x + x）= Cos x cos x –sin x sin x = cos ^ 2 x –sin ^ 2 x
つまり、 Cos 2x = cos ^ 2 x –sin ^ 2 x … ……。（1）
繰り返しますが、 cos ^ 2 x –sin ^ 2 x = cos ^ 2 x-（1- cos ^ 2 x） = 2 cos ^ 2 x-1
つまり、 Cos 2x = 2 cos ^ 2 x-1 ……………..（2）
繰り返しますが、2 cos ^ 2 x –1 = 2（1-sin ^ 2 x）-1 = 1-2 sin ^ 2 x
So 、Cos 2x = 1-2 sin ^ 2 x
したがって、 Cos 2x = cos ^ 2 x –sin ^ 2 x = 2 cos ^ 2 x-1 = 1-2 sin ^ 2 x
回答
これはab * tchです：
{\ displaystyle \ int} \ dfrac {2x} {\ sin \ left（2x \ right）} \、\ mathrm {d} x
この方程式を= {\ displaystyle \ int} 2x \ csc \ left（2x \ right）\、\ mathrm {d} x \ Rightarrow \ class {steps-node} {\ cssId {steps- node-1} {2}} {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left（2x \ right）\、\ mathrm {d} x
{\ displaystyle \ int} xについて解きましょう\ csc \ left（2x \ right）\、\ mathrm {d} x
指数を使用した書き換え：= {\ displaystyle \ int} \ dfrac {2 \ mathrm {i} x} {\ mathrm { e} ^ {2 \ mathrm {i} x}-\ mathrm {e} ^ {-2 \ mathrm {i} x}} \、\ mathrm {d} x \ Rightarrow \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-2} {2 \ mathrm {i}}} {\ cdot} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}-\ mathrm {e} ^ {-2 \ mathrm {i} x}} \、\ mathrm {d} x
解決：{\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}-\ mathrm {e} ^ {-2 \ mathrm {i} x}} \、\ mathrm {d} x
共通の分母に用語を置きます： = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}} {\ mathrm {e} ^ {4 \ mathrm {i} x} -1} \、\ mathrm {d} x
\ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left [\ mathrm {i} x \ right] = \ mathrm {i}。mathtt {g}
\ mathtt {f} \：= \ ln \ left（v \ right）\ to \ mathtt {f} “\：= \ dfrac {1} {v}; \ mathtt {g} “\：= \ dfrac {1} {v + 1} \ to \ mathtt {g} \：= \ ln \ left（v + 1 \ right）
= \ ln \ left （v \ right）\ ln \ left（v + 1 \ right）-{\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left（v + 1 \ right）} {v} \、\ mathrm {d} v
{\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left（v + 1 \ right）} {v} \、\ mathrm {d} v
解決：{\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left（v + 1 \ right）} {v} \、\ mathrm {d} v
w = -v \ longrightarrow \ mathrm {d} vに置き換えます=-\ mathrm {d} w
=-{\ displaystyle \ int}-\ dfrac {\ ln \ left（1-w \ right）} {w} \、\ mathrm {d} w
これも上記のような対数です：= \ operatorname {Li} \_2 \ left（w \ right）
つまり、-{\ displaystyle \ int}-\ dfrac {\ ln \ left（1-w \ right）} {w} \、\ mathrm {d} w =-\ operatorname {Li} \_2 \ left（w \ right）
置換を元に戻すw = -v： =-\ operatorname {Li} \_2 \ left（-v \ right）
解決された積分をプラグインします：\ ln \ left（v \ right）\ ln \ left（v + 1 \ right）-{ \ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left（v + 1 \ right）} {v} \、\ mathrm {d} v = \ ln \ left（v \ right）\ ln \ left（v + 1 \右）+ \ operatorname {Li } \_2 \ left（-v \ right）
次の解を求めます：{\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left（v \ right）} {v-1} \、\ mathrm { d} v
w = v-1 \ longrightarrow \ mathrm {d} v = \ mathrm {d} w
= {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ lnに置き換えます\ left（w + 1 \ right）} {w} \、\ mathrm {d} w
繰り返しますが、これは対数です：=-\ operatorname {Li} \_2 \ left（-w \ right ）
そして、w = v-1なので：=-\ operatorname {Li} \_2 \ left（1-v \ right）
解決された積分をプラグインします：-\ class {steps -node} {\ cssId {steps-node-8} {\ dfrac {1} {2}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {v \ ln \ left（v \ right）} {v ^ 2 + 1 } \、\ mathrm {d} v + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-9} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left （v \ right）} {v + 1} \、\ mathrm {d} v + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-10} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left（v \ right）} {v-1} \、\ mathrm {d} v =-\ dfrac {\ ln \ left（v \ right）\ ln \ left（v ^ 2 + 1 \ right）} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（-v ^ 2 \ right）} {8} + \ dfrac {\ ln \ left（v \ right）\ ln \ left（v + 1 \ right）} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（-v \ right）} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（1-v \正しい）} {4}
v = \ mathrm {e} ^ uの置換を元に戻し、\ ln \ left（\ mathrm {e} ^ u \ right）= uを使用します：
=-\ dfrac {u \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ {2u} +1 \ right）} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {2u} \ right）} {8} + \ dfrac {u \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ u + 1 \ right）} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（- \ mathrm {e} ^ u \ right）} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（1- \ mathrm {e} ^ u \ right）} {4}
解いた積分を再度プラグインします：-{\ displaystyle \ int} \ dfrac {u \ mathrm {e} ^ {2u}} {\ mathrm {e} ^ {4u} -1} \、\ mathrm {d} u = \ dfrac {u \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ {2u} +1 \ right）} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {2u} \右）} {8}-\ dfrac {u \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ u + 1 \ right）} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e } ^ u \ right）} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（1- \ mathrm {e} ^ u \ right）} {4}
u = \なのでmathrm {i} x：= \ dfrac {\ mathrm {i} x \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right）} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right）} {8}-\ dfrac {\ mathrm {i} x \ ln \ left（\ mathrm {e } ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right）} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ l eft（-\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right）} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left（1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i } x} \ right）} {4}
解決された積分をプラグインします：\ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-12} {2 \ mathrm {i}}} {\ cdot} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}-\ mathrm {e} ^ {-2 \ mathrm {i} x}} \、\ mathrm {d} x =-\ dfrac {x \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right）} {2} + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right）} {4} + \ dfrac {x \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right）} {2}-\ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right） } {2} + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right）} {2}
解決された積分をプラグインします：\ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-13} {2}} {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left（2x \ right）\、\ mathrm {d } x = -x \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right）+ \ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right）} {2} + x \ ln \ left（\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right）-\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ { \ mathrm {i} x} \ right）+ \ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right）
ここで行う必要があるのは、不定積分のドメインを拡張するために、対数関数の引数に絶対値関数を適用することだけです。
{\ displaystyle \ int} 2x \ csc \ left（2x \ right ）\、\ mathrm {d} x = -x \ ln \ left（\ left | \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right）+ x \ ln \ left（ \ left | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right）+ \ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right）} {2}-\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right）+ \ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left（1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right）+ C \ Rightarrow \ boxed {\ dfrac {\ mathrm {i} \ left （\ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right）-2 \ operatorname {Li} \_2 \ left（-\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right）+2 \ operatorname {Li} \_2 \ left（1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right）\ right）} {2} -x \ left（ \ ln \ left（\ left | \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right）-\ ln \ left（\ left | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm { i} x} + 1 \ right | \ right）\ right）+ C}