ベストアンサー
次のようになります
\ displaystyle {（x + \ dfrac {1} {x}）^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} +（2 \ times x \ times \ dfrac {1} {x}）= 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4-x ^ 2 + 1 = 0}}
xの値^ 2は-\ omegaおよび-\ omega ^ 2
場所
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
そして
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
x ^ 2を-\ omega
とすると、与えられた式は\ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90}になります。 + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 +（x ^ 2）^ {103} +（x ^ 2）^ {100} +（x ^ 2）^ {45} +（x ^ 2）^ {42} +（x ^ 2）^ {9} +（x ^ 2）^ {6} +（x ^ 2）^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 +（-\ omega）^ {103} +（-\ omega）^ {100} +（-\ omega）^ {45} +（-\ omega）^ {42} +（-\オメガ）^ {9} +（-\ omega）^ {6} +（-\ omega）^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1-{\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1}-{\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42}-{\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6}-{\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1-（{\ omega} ^ {102}。{\ omega}）+（{\ omega } ^ {99}。{\ omega}）-{\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42}-{\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6}-{\オメガ} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1-（（\ omega ^ 3）^ {34}。{\ omega}）+（（\ omega ^ 3） ^ {33}。{\ omega}）-（\ omega ^ 3）^ {15} +（\ omega ^ 3）^ {14}-（\ omega ^ 3）^ {3} +（\ omega ^ 3） ^ {2}-{\ omega} ^ {3}}}
ここで、\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
だから
\ displaystyle {s = 1-（1 \ times {\ omega}）+（1 \ times {\ omega}）-1 + 1 –1 + 1 –1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1-{\ omega} + {\ omega} –1 + 1 –1 + 1 –1 = 0}}
したがって、答えは0
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回答
この問題は、最初に見たものよりもかなり単純であり、どれほど役立つかについての教訓です。それは、対称性を探すこと、そしてそれを利用することかもしれません。問題を解決するために微積分は必要ありませんが、微積分を知っている場合は、そのアプローチは非常にうまく機能します。非微積分解の鍵は、同じ値がg（x）とh（x）を最小化すると、g（x）+ h（x）も最小化することを観察することです。これが本当である理由がわかりますか？
このアイデアをこの問題にどのように適用できますか？
g（x）=（x + 3）^ 4 +（x + 4 ）^ 4。この関数は、x = 3.5（xに追加される+3値と+4値の中間点）に関して対称です。これは、g（x）=（（x + 3.5）-0.5）^ 4+と記述できるためです。 （（x + 3.5）+0.5）^ 4。 y = x + 3.5とすると、この対称性は、g（y）が偶数の多項式でなければならないことを意味します。したがって、yの偶数乗のみの項が含まれます。これは偶数の多項式であるため、二項定理は、そのすべての係数が正でなければならないことを示しています。 （実際、g（y）= 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18ですが、引数を終了するためにこれらの3つの項を明示的に見つける必要はありません。）y = 0なので、それぞれを明らかに最小化します。それぞれが正の係数を持つyの偶数乗であるため、g（y）の被加数を個別に計算すると、最初の観測では、y = 0でもgを最小化する必要があります。そのため、x = -3.5がg（x）の一意の最小化子であることがわかりました。
次に、h（x）= x ^ 2 +（x + 7）^ 2について考えます。この関数は2次であるため、gよりもわずかに単純であり、ほぼ同じ引数は、x = 3.5がh（x）の一意の最小化子でもあることを意味します。対称性を利用して、h（x）=（（x + 3.5）-3.5）^ 2 +（（x + 3.5）+3.5）^ 2と記述します。次に、h（y）は偶数の多項式であり（したがって、yの偶数乗しかない）、二項定理を使用して、正の係数しかないことを結論付けます。実際、h（y）= 2y ^ 2 + 24.5ですが、ここでも、明示的に見つける必要はありません。 y = 0は、h（y）を生成するために追加されるすべての項を最小化するため、y = 0はh（y）を最小化することがわかり、x = -3.5がh（x）の一意の最小化子であると結論付けます。
最後に、x = -3.5はg（x）とh（x）の両方の一意の最小化子であるため、それらの合計の一意の最小化子であり、問題は解決されます。