ベストアンサー
1つを選択するのは難しいので、選択しておきます:-)
- オイラーの等式
この方程式は、数学で最も重要な5つの数値を組み合わせたものです。 。これらは次のとおりです。
- 1 –他のすべての数値の基礎
- 0 –無の概念
- pi – 円を定義する数
- e –指数関数的な成長の根底にある数
- i –-1の「架空の」平方根
2.アインシュタインの場の方程式（ 10の方程式の要約）
物理学者のジョンウィーラーはそれを簡潔に要約しました：「時空は問題に移動する方法を教えます;問題は時空間にどのように曲がるかを教えてくれます。 “
アインシュタインの方程式は、私たちの宇宙が時間とともにどのように変化したかを教えてくれ、最も早い瞬間を垣間見ることができます。創造のs。それが多くの科学者のお気に入りであることは当然のことです。
3。波動方程式
波動方程式は、波がどのように伝播するかを表します。これは、水の波から音や振動、さらには光や電波まで、あらゆる種類の波に適用されます。
これは、数学の原理が1つの領域で、または独自に開発されたという考えのポスターチャイルドです。酒は、他の分野で重要なアプリケーションを持つことができます。その美しさは、エレガンス、驚き、知的深さ、実用性などの属性の組み合わせから生まれます。
4。ロジスティック写像
ロジスティック写像は、カオス理論の典型的な例の1つです。
それ次のように要約できます。非常に単純なルールから非常に複雑になる可能性があります。
この方程式を使用して、動物の個体数が時間の経過とともにどのように増減するかなど、多くの自然プロセスをモデル化できます。
母集団の振る舞いは、直感に反する方法で、rの値に非常に敏感であることがわかります。 rが0から1の場合、母集団は常に死にますが、1から3の場合、母集団は固定値に近づきます。3.56995を超えると、母集団は非常に予測不可能になります。
これらの動作数学者によって「混沌とした」と表現されており、私たちが本能的に期待するものではありません。しかし、それらはすべて数学的に非常に単純な方程式から生まれます。
今のところ、それだけです。
方程式を見逃したと思われる場合は、教えてください。」答えに追加します：-）
回答
現在ここに投稿されているPEMDASに関連する基本的な計算の問題がたくさんありますが、それは確かに初歩的な数学です。数学が本当に得意だと思っている人の99％が正解できます。ボブホックの方程式も非常に創造的であることに気づきましたが、それを証明するのはそれほど難しいとは思いません。
ここに投稿する問題は、2006 AIMEII問題15です。非常に複雑に見えますが、創造的な関係によって非常に単純なものに分解されます。
x、y、zが満たされる実数であるとすると、
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
そしてそのx + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}、ここでmとnは正の整数で、nはどの素数の平方根でも割り切れないので、m + nを見つけます
一見したところ、合計を見つける必要がある代数の問題を解いています。最初に考えたのは、方程式を二乗して平方根をある程度取り除くことですが、そのような方法は明らかに面倒です。
x、yのそれぞれについて解く必要がないことに気づきました。 、zを個別に、それらの合計のみが必要な場合は、3つの与えられた方程式を追加することを検討できます。これにより
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
片側が必要ですが、反対側は何もキャンセルされないように見えるので、これは正しくないようです。
3番目のアイデアは、平方根の内部の式を平方の差を使用して因数分解することです。与えられた分数はすべて完全な平方であるためです。そうすることで
x = \ sqrt {\ left（y- \ frac {1} {4} \ right）\ left（y + \ frac {1} {4} \ right）} + \ sqrtが得られます{\ left（z- \ frac {1} {4} \ right）\ left（z + \ frac {1} {4} \ right）}
などですが、それでも明確な方法はありません有用な方法で因子を操作する。つまり、一度に1つの変数を解くことはできますが、明確な方法はありません。
この問題の最善の解決策は、幾何学的に考えることです。ピタゴラスの定理は、脚がa、b、斜辺がcの直角三角形では、a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2であると述べていることを思い出してください。これを操作して、a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}を取得できます。これはまさに方程式のRHSの項の形式です。
この認識に従って三角形を描くと、最初の方程式から、高さ\ frac {1} {4}、斜辺yおよびzの2つの直角三角形を形成できます。 xは、各直角三角形の3番目の長さの合計に等しくなります。直角三角形の高さを長さ\ frac {1} {4}の同じ線分とすると、辺の長さがx、y、z、高さが\ frac {1} {4}の大きな三角形が形成されます。 x側。
2番目と3番目の式について同じ考えを続けると、y側とz側の三角形の高さは\ frac {1} {5}と\ fracであることがわかります。それぞれ{1} {6}。三角形の面積方程式から、次のようになります。
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {および} y = \ frac {5} {6} z
さらに、ヘロンの公式から、次のようになります
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s（sa）（sb）（sc）} = \ frac {1} {4} \ sqrt {（x + y + z）（x + yz）（x + zy）（y + zx）}
他の面積式からzを代入すると、これは単純化されて
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
したがって、
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
so m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}