ベストアンサー
はい、それは変装したモンティホール問題です。その問題の「切り替え」は、一方の確率がもう一方の確率とは異なることを強調する方法にすぎません。その問題では、ホストが開くことができたはずのドアが必要ですが、そうではありませんでした。ここでは、あなたはむしろ、監視員が名前を付けることができたが、名前を付けなかった囚人になりたいと思います。同じことです。
Aは間違っています。彼は、Bについての情報だけを学び、AやCについては何も学ばなかったと考えています。しかし、彼は Cについて何かを学びました：監視員は彼に名前を付けることができましたが、しませんでしたt。コイントスのため、Aが許された時間の50％で、監視員はCと名付けました。しかし、彼はCが許された時間の100％でBと名付けました。この比率（50％から100％）により、Cが赦免される可能性が2倍になりました。
歴史的側面：あなたが引用した問題はもともとはMartinGardnerによるScientificAmericanの1959年10月号（私は思う）に掲載されました。同じ問題で、彼はこの質問に対して間違った答えを得たことをお詫びしました：
- Mr。スミスには2人の子供がいます。そのうちの少なくとも1人は男の子です。両方の子供が男の子である確率はどれくらいですか？
彼はもともと答えは1/3だと言っていました。しかし、提示された質問はあいまいです。少なくとも1人の子供が男の子であることをどのように学んだかによって異なります。
「少なくとも1人は男の子？」、1/3が正しいです。しかし、それがあなたが学んだ単なるランダムな事実であった場合、つまり「少なくとも1人は女の子である」ことも学んだ可能性がある場合、答えは1/2です。
実際、2子問題は、3人ではなく4人の囚人がいる3囚人問題、または4つのドアがあるモンティホール問題のバリエーションにすぎません。ガードナーは、これらの問題がどのように機能するかを明確にするために3人の囚人を提起し、コイントスに関する部分を含めました 具体的には 答えを決定するのは、情報だけではなく、情報を取得したプロセスです。
回答
事後確率ではなく条件付き確率に固執すると、3囚人問題をより簡単に理解できます。
つまり、3囚人A、B、Cは死の列にあり、そのうちの1つはチャンスゲームに基づいて許されています。囚人Aは、少なくとも許されていない他の囚人の1人の名前を明らかにするように監視員に依頼します。
この質問をすることにより、Aは2つのグループを作成しました。
- グループI-Aのみが関与します。
- グループII-BとCが関与します。
これら2つのグループに対応して、2つのイベントがあります。
- グループIの誰かが許されます（Aのみ）。
- グループIIの誰かが許されます（BまたはC）。
両方からこれらのイベントは等確率であり、両方のイベントの確率は\ frac {1} {2}です。 2番目のグループでは、BまたはCのいずれかが選択される確率が再び\ frac {1} {2}になります。
現在、監視員はBを赦免されていない囚人として指名しています。
看守は囚人Cについて何も言っていないので、これは2番目のイベント（BとCを含むグループから誰かが赦免される）の確率が同じであることを意味します-\ frac {1} {2}。
しかし、Bが削除されたため、これは、CがグループIIから赦免される確率が、\ frac {1} {2}から1に増加したことを意味します!!!それは彼が恩赦を得るチャンスが2倍になったということです!!!
一方、同じ理由で、看守は囚人Aについて何も言わなかったので、最初の出来事の確率（誰かが恩赦を受ける最初のグループ）はまだ同じです-\ frac {1} {2}。
したがって、囚人Aの質問は、彼の運命についての新しい情報をAに与えません。一方、囚人C（Aがこの情報を提供した）は、恩赦を得る可能性が2倍になったことを知っています。
3人の囚人の本質を理解するために知っておく必要があるのはこれだけです。問題。ただし、ベイズの公式を使用して直感を検証したい場合。以下に示すように、これを行うことができます。
3囚人問題のベイズ定理
A、B、Cを、それぞれ解放された囚人A、B、Cに対応するイベントとします。そして、bを監視員がAに囚人Bが処刑されることを告げるイベントとすると、ベイズの定理を使用すると、Aが許される事後確率は次のようになります。
P（A | b）= \ frac {P（b | A）P（A）} {P（b | A）P（A）+ P（b | B）P（B）+ P（b | C）P（C）} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
Cの確率 一方、許されるのは次のとおりです。
P（C | b）= \ frac {P（b | C）P（C）} {P（b | A）P（A）+ P（b | B）P（B）+ P（b | C）P（C）} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
したがって、Aが免除される事後確率は、事前確率（\ frac {1} {3}）と同じままですが、Cが免除される確率は2倍になります。
P（b | A）（\ frac {1} {2}）およびP（C | b）（1）の項で、条件付き確率が事後確率に与える影響を確認できます。