ベストアンサー
-216の主立方根は-6ではありません
の主立方根-216は3+ 3i（sqrt（3））です。ここでi ^ 2 = -1
-216の立方根を見つけるには、x ^ 3 = -216
次にx ^ 3 + 216 = 0これは、216 = 6 ^ 3
（a ^ 3-b ^ 3）=（ab）（a ^ 2 + ab + b ^ 2なので、立方体の因数分解を使用して因数分解できます。 ）
（a ^ 3 + b ^ 3）=（a + b）（a ^ 2-ab + b ^ 2）
（x ^ 3 + 6 ^ 3） =（x + 6）（x ^ 2–6x + 36）= 0
解決するには、両方の部分をゼロに設定します。一方がゼロの場合、ゼロの倍はゼロになるためです
（x + 6）= 0、x = 6
（x ^ 2-6x + 36）= 0これは正方形を完成させることで解くことができます
（x ^ 2-6x + c）=-36 + cここで、cは定数です。 c =（b / 2）^ 2およびbは6であるため、c = 3 ^ 2 = 9
（x ^ 2–6x + 9）=-27、（x ^ 2–6x + 9） （x-3）（x-3）=（x-3）^ 2
（x-3）^ 2 = -27、（x-3）= sqrt（-27）、 x = 3 + sqrt（-27）、x = 3–sqrt（-27）
sqrt（-27）=（sqrt（-1x9x3））= sqrt（-1）xsqrt（9）xsqrt （3）= 3i（sqrt（3））
x = 3 + 3i（sqrt（3）、x = 3–3i（sqrt（3））
つまり、キューブ-216の平方根は-6、3 + 3i（sqrt（3））、3–3i（sqrt（3））
数の平方根を見つける場合、主根はに最も近い平方根です。複素平面の正の実軸。2つの根が正の実軸から等距離にあり、最も近い場合、正の虚数成分を持つ根が主根になります。3+3i（sqrt（3））および3–3i（ sqrt（3））は、-6よりも正の実軸に近く、等距離にあります。-6が実解であるかどうかに関係なく、主解は3 + 3i（sqrt（3））です。
したがって、 -216の主な平方根は3+ 3i（sqrt（3））
回答
Re「\ sqrt {216}は何が簡略化されていますか？」です。私の主な答えは次のとおりです。 \ sqrt {216}はすでにあなたと同じくらい「シンプル」ですnそれを作ります。これは「2乗すると整数216になる無理数」です。それよりも「単純」にすることはできません。
今では、216を素因数分解することで、\ sqrt {216}を「単純化」できると反対する人もいるかもしれません。それはあなたに与えるでしょう：\ sqrt {216} \\ = \ sqrt {（2）（2）（2）（3）（3）（3）} \\ = 6 \ sqrt {2} \ sqrt {3} \ \ = 6 \ sqrt {6}しかし、これらの最後の2つの形式は実際には「単純」ですか？数値は小さいですが、概念的には、これらの式は実際にはもっと複雑だと思います。
つまり、私の答えは次のとおりです。\ sqrt {216}簡略化は\ sqrt {216}