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元の回答：立方根の適切な推定値は何ですかof 4？
Nのn乗根はx ^ nN = 0の根です。 x ^ nNの導関数はnx ^ {n-1}であるため、ルートの初期推定値xが与えられると、ニュートン法を使用したより厳密な推定値は
\ qquad F（x）= x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {（n-1）x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n}、
これは~~ \ underbrace {x、x、…、x、} \_ {\ text {n-1 of these}} \ text {と} \ dfrac {N} {x ^ {の平均です。 n-1}}。この加重平均は、xと\ dfrac {N} {x ^ {n-1}}の両方がNのn乗根の推定値であり、反対方向に「オフ」であることに気付いたら意味があります。 、そしてそのxは\ dfrac {N} {x ^ {n-1}}よりもn-1倍良い推定値です。
〜
次に、この方法を適用しましょう…
N = 4とします。xを4の立方根の推定値とします。x= 2などの適切な推測から始めます。次に、
\ qquad F（x ）= \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~より良い見積もりを取得します。
この場合、
\ qquad F （2）= \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ approx1.66666667…
次に、xを使用して繰り返します= \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left（\ dfrac {5} {3} \ right）= \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \約1.5911111 …
これは有効数字約3桁の近似値なので、もう一度やりましょう。
\ qquad F \ left（\ dfrac {358} {225} \ right）= \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \約1.58740969614163 …
これは有効数字約6桁まで適切です。反復ごとに、正しい桁の数は約2倍になります。
答え
数学の知識に応じて、2つの方法があります-
- 対数を使用する
- 反復法（二分法、ニュートンラプソン法など）を使用する
対数- Take x = 2 ^ {1/3}
つまり、log（x）= 1/3 * log（2）
log（x）= 1/3 * 0.30102999 = 0.100343（約）
したがって、x = antilog（0.100343）= 1.2599（約）
反復法-二分法で示しますが、必要に応じて他の方法を試すことができます。 （プロセスはほぼ同じです。）
Let x = 2 ^ {1/3}
つまり、x ^ 3-2 = 0
Let f （x）= x ^ 3-2
1つはf（x）<0を与え、もう1つはf（x）> 0を与えるように2つの値を選択します
f （x）<0 for x = 1およびf（x）> 0 for x = 2したがって、x1 = 1、x2 = 2
ここで、これらの値の平均を新しいxとして取得します
したがって、新しいx =（1 + 2）/ 2 = 1.5
f（1.5）= 1.375> 0
1.5と2の両方が値を与えることがわかります> 0なので、f（x）の値を0から遠ざけるため、2を破棄します。f（x）の値を0に近づけるxの値のみを保持します
したがって、x1 = 1およびx2 = 1.5
ここでも、新しいx =（1 + 1.5）/ 2 = 1.25
f（1.25）= -0.046875
が見つかりました。 1.25として1を破棄すると、f（x）の値が0に近くなります
したがって、x1 = 1.25およびx2 = 1.5
ここでも、これら2つの値の平均として新しいxが見つかります。 f（x）に代入してその符号を確認し、それに応じて、新しいx1とx2の値を取得します。
答えに満足するまでこのプロセスを繰り返します（最終的なx）。
P.S。これらのプロセスでは正確な答えが得られることはありません。おおよそのプロセスで停止する必要があります。