ベストアンサー
正確には、単一のベクトルの回転を取得することはできません。取得するにはベクトルフィールドが必要です。カール、次のようなものです。
カールは、1つの3次元ベクトルフィールドを取得して吐き出す微分演算子です。別の3次元ベクトルフィールド。
回転の意味を理解するために、流体の速度を表すベクトルフィールドがあるとします。つまり、流体はある空間を満たし、 「速度場」は、その空間のすべての点での流体の速度を示します。速度場の回転をとると、新しいベクトル場が得られ、大まかに言えば、流体がそれぞれでどのように回転しているかがわかります。具体的には、回転ベクトルの大きさは回転の強さを示し、方向は右辺の規則。
カルテシで座標の場合、カールはdel演算子と元のフィールドの外積として計算できます。\ mathrm {curl}（\ vec {F}）= \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} =（ \ frac {\ partial F\_z} {\ partial y}-\ frac {\ partial F\_y} {\ partial z}）\ hat {x} +（\ frac {\ partial F\_x} {\ partial z}-\ frac {\部分F\_z} {\ partial x}）\ hat {y} +（\ frac {\ partial F\_y} {\ partial x}-\ frac {\ partial F\_x} {\ partial y}）\ hat {z}
カールが重要である最大の理由の1つは、ヘルムホルツ分解です。基本的に、ベクトル場を完全に特徴づけるために必要なのは、その発散と回転だけです。これは、たとえばマクスウェル方程式で大きな効果を発揮するために使用されます。マクスウェル方程式では、電場と磁場の回転と発散を指定することで、場を解くことができます。
回答
さまざまな人がさまざまな類推/視覚化を役立つと感じるかもしれませんが、ここに「物理的意味」の1つの可能なセットがあります。
発散：流体を想像してください。ベクトル場は、空間内の各ポイントでの流体の速度を表します。発散は、流体の正味の流れを測定します外（つまり、発散から）。流体が代わりに流れている場合そのポイントへ、発散は負になります。
正の発散を持つポイントまたは領域は、多くの場合、（流体などの）「ソース」と呼ばれます。フィールドは説明しています）、負の発散を持つ点または領域は「シンク」です。
回転：流体の速度を表すベクトル場を使用して、流体に戻りましょう。カールは、流体が特定のポイントを中心に回転する度合いを測定します。ジェットバスや竜巻は極端な例です。
カールがほぼ一定になるほど小さい流体の小さな塊を想像してみてください。 あなたも非常に小さく縮小されており、その液体の塊の周囲を一周する必要があると言われています。時計回りに泳ぐか、反時計回りに泳ぐかを選択しますか？速度のカールがゼロの場合は問題ではありませんが、ゼロ以外の場合は、一方向にほとんどを使用します現在、および他の方向では、ほとんどが現在に対して行くことになります。したがって、方向の選択はだろう。カールのサインは、どちらが正しい選択であるかを示します。
グラデーション：グラデーションを取ることは完全に有効ですがベクトル場の場合、結果はランク2のテンソル（行列のような）であるため、直感的な用語で説明するのは困難です（おそらく他の誰かがそれを管理しますが）。そこで、代わりに、スカラーフィールドの勾配について説明します。具体的には、特定のポイントでの海抜の高さを示すフィールドです。地球上（たとえば、緯度と経度で指定）
この状況では、勾配は実際にはかなり単純です。勾配は「上り坂」（最も急な方向）を指し、大きさからわかります。たとえば、勾配が0.2の大きさで北東を指している場合、最も急な上昇の方向は北東であり、北東に移動する1メートルごとに0.2メートルの標高ゲインが得られます。
ベクトルフィールドの勾配については、そのベクトルフィールドの各コンポーネントの勾配と考えることができます。各コンポーネントはスカラーです。