ベストアンサー
の定義行列の対角要素の合計が習得しやすく、理解しやすいため、トレースします。ただし、（アプリオリに）優れた幾何学的解釈やその他の解釈はありません—計算ツールのように見えます。この観点から攻撃すると、基本的に、tr（AB）= trのような事実の計算証明に固執することになります。 （BA）。
それ自体は悪いではありません。それらは理解しやすく、確かに誰かが最初に線形代数を学んでいるときに何を示すべきかを示します。 tr（AB）= tr（BA）である理由はもっと深いですが、それはかなり抽象的であり、特に理解するためにテンソル積が必要です。
ベクトルからの線形演算子の空間を検討してください。スペースVを元に戻します。特定の座標セットを選択すると、そのような演算子は正方行列のように見えます。ただし、可能な限り座標を避けることを目指します。
V ^ *でVの双対空間を表します。これは、V上の線形汎関数の空間—つまり、線形写像\ lambdaベクトルvを差し込むと、\ lambda（v）はスカラーになります。
テンソル積V ^ * \ otimes Vを取ると、線形演算子Vの空間と同型になります。 \ rightarrowV。同型は次のように機能します。w\ in Vの場合、（\ lambda \ otimes v）w = \ lambda（w）v。
この同型の下で合成がどのように機能するかを理解することもできます- -線形写像の合成は、対応する行列を乗算することとまったく同じであることを思い出してください。
（\ lambda\_2 \ otimes v\_2）\ left（（\ lambda\_1 \ otimes v\_1）w \ right）=（\ lambda\_2 \ otimes v\_2）\ left（\ lambda\_1（w）v\_1 \ right）= \ lambda\_2 \ left（\ lambda\_1（w）v\_1 \ right）v\_2 = \ lambda\_2（v\_1）\ lambda\_1（w）v\_2
したがって
（\ lambda\_2 \ otimes v\_2）\ circ（\ lambda\_1 \ otimes v\_1）= \ lambda\_2（v\_1）（\ lambda\_1 \ otimes v\_2）
では、トレースが入りますか？さて、V ^ * \ otimes Vからスカラー場への自然なマップがあります。これは次のように機能します：\ lambda \ otimes v = \ lambda（v）。驚くべきことに、すべてを座標で計算すると、これがトレースになります。
これは、トレースが抽象的な計算ツールではなく、実際には線形代数の基本的で自然なマップであることを示しています。 。特に、上記の分析により、tr \ left（ABA ^ {-1} \ right）= tr（B）であることが自動的に証明されます。
しかし、なぜより強力なステートメントtr（AB）= tr（ BA）本当ですか？さて、両方を計算しましょう。
tr \ left（（\ lambda\_2 \ otimes v\_2）\ circ（\ lambda\_1 \ otimes v\_1）\ right）= tr \ left（\ lambda\_2（v\_1） （\ lambda\_1、v\_2）\ right）= \ lambda\_2（v\_1）\ lambda\_1（v\_2）
一方：
tr \ left（（\ lambda\_1 \ otimes v\_1） \ circ（\ lambda\_2 \ otimes v\_2）\ right）= tr \ left（\ lambda\_1（v\_2）（\ lambda\_2、v\_1）\ right）= \ lambda\_1（v\_2）\ lambda\_2（v\_1）
ああ、したがって、ABは\ lambda\_1、\ lambda\_2とv\_1、v\_2のペアリングに対応し、BAはそれらのペアリングに対応しますが、トレースを取得すると、ペアリングされますもう一度、その時点で違いはなくなります。
美しい
回答
\ mbox {trの証明}（AB）= \ mbox {tr}（BA）は簡単な計算です：
\ mbox {tr}（AB）= \ sum\_i（AB）\_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =
= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j（BA）\_ {jj} = \ mbox {tr}（BA）。
これが「はい、」という意味で、質問の「理由」の部分に答えるかどうかはわかりません。計算はうまくいくようですが、なぜ？」
何かが真実である「理由」を説明することはしばしば不可能です。ここで、ABとBAが実際にトレースよりもはるかに多くを共有していることを観察することはおそらく役に立ちます：それらは同じ特性多項式を持っています。
もう1つの有用な観察結果は、AまたはBが非特異（可逆）の場合、ABとBAは類似した行列であるということです。これは、
AB = B ^ {-1}（BA ）B。
類似した行列は明らかに同じ固有値を持っているため、特に同じトレースを持っています。連続性（これが理にかなっている分野について）によって、同じことが特異な場合にも当てはまると結論付けることができます。