ベストアンサー
\ frac {d} {dx}は「もの」ではありません。アクションや操作の名前、または1つの入力を受け取る関数の名前と考える必要があります。[1]
具体的には、f（x）が関数の場合、次のようになります。その機能に対して差別化のアクションを実行します。そのアクションを書く1つの方法は、\ frac {d} {dx} f（x）です。これは、f（x）がxに対する微分の操作への入力であることを意味します。
したがって、文法的に、\ frac {d} {dx}は「完全な文」ではありません。 、または自給自足の名詞ですら。直接目的語を必要とする動詞のようなものです。その直接目的語はxの任意の関数にすることができます。特に、yがxの関数である場合、\ frac {d} {dx} yは書くのが理にかなっています。 。英語では、このフレーズは「yのxを尊重する導関数をとった結果」を意味します。簡潔にするために、通常これを\ frac {dy} {dx}と記述しますが、「 \ frac {d} {dx}表記の場合、私が行ってきたように、微分演算への入力を右に書き続けることをお勧めします。
2番目の質問：チェーンルールは関数の合成の導関数を計算する方法。
[1]はい、私は知っています、関数も物事です。
答え
関数：
（1）\ left（x\_ {1}、…、x\_ {n} \ right）\ mapsto f \ left（x\_ {1}、…、x\_ {n } \ right）where x\_ {1} = x\_ {1} \ left（t \ right）、…、x\_ {n} = x\_ {n} \ left（t \ right）
Let “sは\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}を計算します。 （1）を微分すると、次のようになります。
（2）df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f } {\ partial x\_ {n}} dx\_ {n}
両側をdtで割ると、結果は次のようになります。
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
最終結果が得られます：
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} x “\_ {1}（t）+ … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {n}} x “\_ {n}（t）この導出は、多変数関数の微分の定義（式（2））を使用して行われます。
では、どのようにしてこの定義を取得したのでしょうか。まず、ある点Aでfが微分可能であると定義する方法を見てみましょう。
ある点Aでの関数fの総微分が次のようになることを示すことができる場合：
\三角形f（A）= \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triangle x\_ {k} + \ omega（X）\ rho（X、A）
ここで、p\_ {k}は数値係数です。 \ omegaは、\ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega（X）= \ omega（A）= 0であり、\ rho（X、A）はAとXの間のユークリッド距離であるという特性を持つ関数です。関数fは点Aで微分できます。
ここで、もう1つの定理が必要になります。
式\ omega（X）\ rho（X、A）上記から次のように記述します。
\ omega（X）\ rho（X、A）= \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k}（X）（x\_ {k} -a\_ {k}）
証明：
\ omega（X）\ rho（X、A）= \ omega（X）\ frac {\ rho（X、A）^ {2}} {\ rho（ X、A）} = \ omega（X）\ frac {\ sum\_k ^ n（x\_ {k} -a\_ {k}）^ {2}} {\ rho（X、A）} = \ sum\_k ^ n \ left （\ frac {\ omega（X）（x\_ {k} -a\_ {k}）} {\ rho（X、A）} \ cdot \ left（x\_ {k} -a\_ {k} \ right）\ right）
| x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho（X、A）以降、| x\_ {k} -a\_ {k} |はエッジであるためd \ rho（X、A）は、直角平行六面体の対角線であり、分数を\ epsilon\_ {k}（X）と見なすことができます。
微分に到達するには、もう1つの定理が必要です。この定理は、関数の微分を得るのに必要な条件を与えます。
関数fがある点Aで微分された場合、その点には偏微分があり、次のようになります。
（1）L（X）= \ sum\_k ^ n p\_ {k}（x\_ {k}- a\_ {k}）= \ sum\_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {k}} | \_ {A}（x\_ {k} -a\_ {k}）
証明：
fは点Aで微分できると言ったので、次のように書くことができます：
f（X）-f（A）= \ sum\_k ^ n p\_ {k}（ x\_ {k} -a\_ {k}）+ \ omega（X）\ rho（X、A）
ここでn-1個の変数は定数であり、1つだけ変更することにします。少しずつ。例：x\_ {2} = a\_ {2}、…、x\_ {n} = a\_ {n}、次のようになります。
f（x\_ {1}、a\_ {2 }、…、x\_ {n}）-f（a\_ {1}、a\_ {2}、…、x\_ {n}）= p\_ {1}（x\_ {1} -a\_ {1}）+ \ omega（X）| x\_ {1} -a\_ {1} |。左側には、x\_ {1}に関して微分があります。両側をx\_ {1} -a\_ {1} = \ triangleで割るとx\_ {1}次のようになります：
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega（X）\ cdot sgn（x\_ {1} -a\_ {1}）
ここで、x\_ {1} \ mapsto a\_ {1}の場合、つまり\ Triangle x\_ {1} \ mapsto 0で、左側にはx\_ {1}に関して偏微分があり、右側には\ omegaと言ったので、p\_ {1}が残っています。 （X）\ mapsto0。どの変数を変更しても同じ結果が適用されることは簡単にわかります。したがって、この定理を証明しました。ここから、
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {解決策を見つけるために使用したn}} dx\_ {n}。