ベストアンサー
1。数の根。
小学校では、数の平方根は実際には問題であるとアドバイスされました。数をそれ自体で乗算したものは、数を取得するために何度も、ルートです。例えば。 9 = 3の平方根、3×3 = 9の場合は16 = 2の4乗根、2×2×2×2 = 16の場合など。ただし、「アプリケーションが数体系を有理数から実数に拡張したため、根の性質はより基本的です。言い換えると、根を見つける操作を使用するには、数体系を拡張して、下で閉じられるようにする必要がありました。不合理な数を導入することによる「発根」の操作。有理数は+、-、×、÷では閉じられますが、√では閉じられません。たとえば、√2は比率として表すことはできません。ピタゴリアンはこれを知っており、正方形ではなかったので、彼らの世界観でそれを支持してください。
2。方程式の根
私たちに言われた性質は、曲線がいつx軸。これは、多項式に応じて1回、2回、3回発生する可能性があります。私たち全員が学んだそれらを計算するための規則が考案されました。次に、質問が行われました。曲線がx軸を切断しない場合はどうなりますか？架空のルートであり、これはb ^ 2-4ac のときに発生しました。これには、記数法の別の拡張が必要でした。 が必要です。負の数の根を含めるために、複素数システムが発明されました。したがって、「根」の性質は、有理数を超えて記数法を拡張することでした。
答え
あなたは「自然同形」の意味で「自然」を意味すると思います。何かが「自然」または「標準的」である場合、それは大まかに言って、それが任意の選択の結果ではないことを意味します。当然、そのコンテキストによって決定されます。
「自然な」ものの動機付けの例の1つは、有限次元のベクトル空間Vとその二重双対V ^ {\ vee \ vee}の間の同型写像です。同型写像はv \ inVからE\_v \ in V ^ {\ vee \ vee}になります。ここで、\ phi \ in V ^ \ veeの場合はE\_v（\ phi）= \ phi（v）です。ベクトルvをマップE\_vに送信します。マップE\_vは、vで双対ベクトルを評価します。これは自然なことです。恣意的な選択は行われず、関係するオブジェクトの定義と関係から直接外れました。
これら2つのスペース、またはもちろん、他の同型性がありますが、これは「正しい選択」です。他の選択は不自然です。たとえば、vをE\_ {A（v）}に送信できます。ここで、A：V \ to VはVの任意の線形自己同型です。しかし…なぜですか？目の前にv \ mapsto E\_vが自然に選択できるので、Aを導入する必要がある理由はまったくありません。 「自然」と「不自然」の同型の違いが十分に明確であるといいのですが。
一方、自然同型L：V \ to V ^ \ veeはありません。同型を構築するには、任意の選択が必要です。基底b\_1、\ dots、b\_nを選択し、L（b\_i）をb\_iを1に、他のすべての基底ベクトルを0にする双対ベクトルとして宣言できます。これは完全に細かい同型を定義しますが、まったく同じことができます。他の根拠を持つものであり、異なる、等しく有効な同型を取得します。自然な、神から与えられた*方法で1つを選択する方法はありません。
これは非常に大まかな非公式の説明です。それは圏論によって正確にすることができます（そしてそうです）：ファンクターと自然変換は、ある文脈で何かを「自然」にするものについて考える正しい方法を提供します。私はこの概念について自分自身の直感を伝えるために最善を尽くしました。これは、（カテゴリ）ゴリーの詳細の準備が整うまでは十分だと思います。
*数学の神学/オントロジーにもかかわらず