ベストアンサー
行列（およびそれによって行列が表す連立方程式）かどうかを判断する方法は2つあります。 ）独自の解決策があるかどうか。
a。クラマーの方法。
連立方程式を行列形式AX = Bに変換します。ここで、A =係数行列、X =変数行列、B =結果行列です。
係数行列にDという名前を付けます。3×3行列の場合、D行列の1番目、2番目、および3番目の列を結果の列行列に置き換えて行列Dx、Dy、およびDzを取得します。
- Dが0に等しくなく、Dx、Dy、およびDzの少なくとも1つが0に等しくない場合、連立方程式は一貫性があり、一意の解があります。
- Dの場合= 0であり、Dx、Dy、およびDz = 0の場合、ただし係数行列（aij）の構成要素の少なくとも1つ、または2 x 2マイナーの少なくとも1つが0に等しくない場合、連立方程式は一貫性があります。
- D = 0で、Dx、Dy、Dzの少なくとも1つがゼロでない場合、連立方程式に一貫性がありません（解なし）。
したがって、連立方程式は、値が次の場合にのみ一意の解を生成します。行列式の値がゼロに等しくない。
b。ランク付け方法
行列形式で方程式のシステムを書き留めますAX = Bここで、A =係数行列、X =変数行列、B =結果行列。
行列Aのランクを調べます。
拡大行列[A、B]を書き留めます
拡大行列[A、B]のランクを調べます
- 1。行列Aのランクが拡張行列のランクと等しくない場合、方程式のシステムは一貫性がなく、解がありません。
- 両方の行列のランクがシステム内の未知の変数で、行列Aが特異でない場合、方程式のシステムは一貫性があり、一意の解があります。
- 両方の行列のランクが等しいが、ランクが以下の場合未知数の数の場合、方程式のシステムは一貫しており、無限に多くの解があります。したがって、3つの可能性しかありません-一貫性がない、ソリューションがない、一意のソリューションと一貫性がある、無限に多くのソリューションと一貫性がある。係数行列のランク=拡大行列のランク=未知数の数の場合にのみ一意の解。
回答
理論によるとAx = b \ det（A）\ neq0の場合は一意の解があり、それ以外の場合は解がないか、無限に多くなります。その場合、行列は単数と呼ばれます
ただし、実際には、これはほとんど発生しないことがわかります。では、方程式のすべてのセットを解くことができますか？はいといいえ。行列がほぼ特異である場合、解を得ることができますが、それは意味がありません。その理由は、右側の小さな変動がソリューションに（数桁の）大きな変動を引き起こす可能性があるためです。その場合、システムは悪条件と呼ばれます。これは悪いことです。計算の過程で、ほぼ等しい量を引くために有効数字が失われる可能性があるからです。
どうすればわかりますか？ 条件数 \ kappa（A）= \ | A ^ {-1} \ | \ | A \ |理論的な尺度です。最良の値は1で、大きいほど悪くなります。しかし、計算するのはそれほど簡単ではありません。それを実行する実際的な方法は、右側の小さなランダムな摂動を取り、2つの解を比較することです。それらが大幅に異なる場合は、悪条件のシステムです。