ベストアンサー
2x + y = 5、x –y = 1にはx =の固有の解があります2、y = 1。線2x + y = 5、x-y = 1は、1つの点で交差します。つまり（1,2）です。
次のような2つの平行線がある場合x –y = 1およびx–y = 7の場合、方程式x –y = 1、x –y = 7の解はありません。
2つの方程式が実際にx-のように同じである場合y = 1,5 x-5y = 5の場合、その線上にある任意の点はx = 3、y = 2またはx = 1,000 y = 999などの解であり、一意の解はありません。
It x、y、zなどの3つの変数がある状況では、もう少し興味深いものになります。
2x + y + z = 4、x –y = 0、x –z = 0には一意の変数がありますx = 1、y = 1、z = 1の解。平面2x + y + z = 4、x –y = 0、x –z = 0は、1つの点で交差します。つまり（1,1、 1）。
x + y + z = 1、x + y + z = 4、x + y + z = 8などの3つの平行平面がある場合、方程式xの解はありません。 + y + z = 1、x + y + z = 4およびx + y + z = 8。
1つの方程式が他の2つの方程式の線形結合である場合、一意の解はありません。これは2x + y + z = 4、x –y = 0、3x + z = 4の例です。（1,1,1）は解であるだけでなく、（2,2、-2）と（3、 3、-7）。実際、解は無限にあります。
その理由は、1つの方程式が他の方程式の線形結合であるためです
3x + z = 4は1（2x + y + z = 4）+1（x –y = 0）。
これへの参照はたくさんありますが、線形システムのユニークなソリューションが何であるかについてのアイデアが得られることを願っています。
回答
私の答えは、線形不等式のシステムと比較して、これが線形方程式のシステムであると最初に仮定します。
短い回答-相互に排他的なオプション：解決策なし、1つの一意の解決策、または無限の数の解決策。
長い回答-解のタイプは、線形システムの方程式の数、変数の数、およびシステムの記述方法によってある程度異なります。
代数的に：
- 解のないシステムは、一貫性のないシステムと呼ばれます。これは、システム内のすべての方程式を同時に解く変数の値のセットがないことを意味します。次のシステムに一貫性がありません：
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x -2 y -6 z = 3
- x -4 y -2 z = 1
- ソリューションが1つだけのシステムは、一貫性のある独立したシステムと呼ばれます。 解が存在するため一貫性があり、各方程式は他の方程式から独立しているため独立しています。これは、ソリューション内の変数の各値が他の変数の値から独立していることを意味します。システム内のすべての方程式を同時に解く値のセットが1つだけ（変数ごとに1つの値）あります。以下は、ソリューション x = 5 y <を備えた一貫性のある独立したシステム（mathisfun.comから取得）です。 / span> = 3 z =-2。
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y –z = 27
- ソリューションが無限に多いシステムは、一貫性のある依存システムと呼ばれます。 システム内の少なくとも1つの方程式が別の方程式の倍数であるか、他の方程式の組み合わせであるため、依存しています。つまり、システム内の他の変数には、すべてのシステムを同時に解決する1つの値しかありませんが、1つ以上の変数は、任意の値でシステムを解決できます。以下は、ソリューション y = 1 / 5-4 x / 5; z = 7 / 5- x / 5。
- x + y + z = 5
- x + 2 y -3 z = 3
- 2 x + 3 y -2 z = 8
グラフィカル（例として3変数システム）：
- 2つの変数を持つシステムは、2次元グラフ上の線のグループで表すことができます（通常はxy）、3つの変数を持つシステムは、3次元グラフ（通常はxyz）上の線または平面の集合です。したがって、 n の多くの変数を持つシステムは、 n-次元グラフで表されます。
- 一貫性のある独立したシステムでは、すべての平面が1点で交わります（つまり、2つの壁と1つの床が角で交わります）。上記の代数的回答で使用されている一貫性のある独立したシステムでは、3つの平面はすべて点（5,3,2）で交差します。
- の一貫性、依存システムでは、すべての平面が1点だけでなく、1行で交わります（つまり、背表紙で集まる本の3ページ）。上記の代数的回答で使用されているシステムでは、3つの平面はすべて-5 y + 20 z = 27（ x は、ソリューション内の任意の値にすることができます。
- 一貫性のないシステム、少なくとも2つの平面が平行であるため、交わることがありません。 3番目の平面は、両方の平面（つまり、通りの道路線）に平行である場合もあれば、両方と交差する場合もありますが、同じ場所にあることはありません。 （つまり、部屋の反対側の壁と天井）。