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デル演算子は、ベクトルの導関数を見つける方法です。スカラー関数の導関数を見つけることに慣れているかもしれません。これは、次の形式で表すことができます。
\ displaystyle \ frac {df（x）} {dx} = f “（x）
ここで、f（x）はxの関数であり、f “（x）はその導関数であり、\ frac {d} {dx}は最初に導関数を取るように指示する用語です。 \ frac {d} {dx}は、隣にあるものの微分を取るように指示されるため、「微分演算子」と考えることができます。
ここで、これも実行したいと思います。ベクトルの場合、ほとんどの場合、デカルト座標（x、y、およびzの関数）で表されるベクトルです。どうして？多くの物理現象（電場や重力場など）はベクトルとして記述できるため、これらの現象（したがって導関数）の変化が重要です。
では、ベクトルの導関数をどのように取得するか？ Del演算子を使用します。ベクトルで使用したいので、ベクトルそのものである必要があります。また、xだけでなく、3つのデカルト座標すべてに使用するため、より多くの文字が含まれます。最終的に、Del演算子は、上記の「微分演算子」と非常によく似ていますが、さらにいくつかの用語があります。
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
\ nablaは私たちが呼んでいるものです記号は正式には「nabla」ですが、DelOperator。私は正直に言って、それは逆さまのデルタと呼ばれていると教えられました！ xに関する導関数だけでなく、yとzに関する部分的な導関数も使用するようになりました。偏導関数をとるときは、1つを除くすべての変数を定数として扱い、選択した変数に関する導関数を取ります。
ベクトルを乗算する方法は2つあるため、当然、次のようになります。ベクトル導関数をとる2つの方法。ベクトルを乗算する2つの方法は、「内積」と「外積」を使用することです。 ;各乗算の結果は、それぞれスカラー値とベクトル値になります。
ドット積を使用した例は、電界の発散を計算することです。
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
ここでは、内積を使用して導関数を取得し、スカラー値{\ rho} \_vを残します。これは、の体積電荷密度です。領域。
外積を使用する例は、電界のカールを計算することです。
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} =-\ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
ここでは、外積を使用して導関数を取得し、ベクトル値\ mathbf {B}（より具体的にはその時間導関数）を残します。
ただし、Del演算子はベクトルの外でも役立ちます。 Del演算子を3つの異なるものの単なる合計として扱う場合、それをスカラー関数で乗算すると、その関数は全体に分散されます。
\ displaystyle \ nabla f（x、y、 z）= {\ hat x} \ frac {\ partial f（x、y、z）} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial f（x、y、z）} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f（x、y、z）} {\ partial z}
この場合、スカラーをベクトルに変換しました。これは、スカラー関数の「勾配」を取ることとして知られています。これは、関数が最も急速に変化している方向を示します。これは、次の形式の潜在的なフィールドによく使用されます。
\ displaystyle F =-\ nabla \ mathbf {U}
ここで、\ mathbf {U}は位置エネルギー（ばねや重力など）であり、Fはその場に置かれた結果生じる力です。これはまだベクトル導関数であり、これは前述のようにDel演算子について説明したものです。これは、ベクトルのベクトル導関数ではなく、スカラーのベクトル導関数であるということです。ええ、それらも存在します！
そしてそれは続きます。 {\ nabla} ^ 2という用語を見たことがあるかもしれません。これはラプラシアンとして知られており、波動方程式などに見られます。基本的には、DelOperatorを2回続けて使用するだけです。より多くの変数を持つ他の座標系に拡張することも、2次元または1次元に縮小することもできます。これは非常に重要な概念であり、物理学のほぼすべての分野で使用されます！
回答
del演算子（nablaとも呼ばれる）は次のように定義されますデカルト座標：
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
物理的な重要性については？
del演算子空間導関数と同等のベクトル計算として機能します。 del演算子に関連する派生物には3つのタイプがあります。 Aがベクトルで、\ phiがスカラーであると仮定します。
グラデーション： grad（\ phi）= \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
発散： div（A）= \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partial A\_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
カール： curl（A）= \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i}＆\ hat {j}＆\ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x}＆\ frac {\ partial} {\ partial y}＆\ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x＆A\_y＆A\_z \ end {vmatrix}
これらのタイプの派生物にはそれぞれ、自分でGoogleで検索できる興味深いプロパティがあります。
これがお役に立てば幸いです！
注：これらの方程式はすべて、他の座標系（球形、円筒形など）では異なります。 。 注意してください！