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を証明する方法
アイデンティティを証明する方法は、あなたの方法に大きく依存しますサインとコサインについて考えてみてください。
サインとコサインを直角三角形の辺の比率として考えると（高校のように、斜辺に対してサインを反対として教えます）、直角三角形が得られます。側面a、b、c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2（後者はピタゴリアン三角形による）、および\ sin \ theta = \ frac {a} {c}、\ cos \ theta = \ frac {b} {c}、\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta =（\ frac {a} {c}）^ 2 +（\ frac {b} {c}）^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1。
正弦と余弦を単位円上の点の座標（円の弧の長さでパラメータ化）と考えると、単位円の定義により、すべての点がx ^ 2 + y ^ 2 =を満たします。 1であるため、ポイント（\ sin \ theta、\ cos \ theta）も同様であるため、\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1です。
正弦と余弦は次のように定義することもできます。微分方程式f = -fの独立した解、\ sin 0 = 0、\ sin 0 = 1、\ cos 0 = 1、\ cos 0 = 0。方程式の独立した解は2つしかないため、そしてf ^ {（n）}が解であることは簡単にわかります。それは、\ sin x、\ sinx、\ sinxが独立した解になることができない場合でなければなりません。実際、\ sin x =-\ sin x、つまり\ sin 0 = 1、\ sin0 = 0、つまり\ sinx = \ cos x、\ cos x =-\ sinx 。これから、\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 xを暗黙的に微分して、2 \ sin x \ sinx + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x（ -\ sin x）= 0。したがって、\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2xの値は定数であり、0で評価すると、\ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2が得られます。 = 0 + 1 = 1なので、\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1です。
正弦と余弦は、べき級数\ sin x = x- \ frac {xで定義することもできます。 ^ 3} {3！} + \ frac {x ^ 5} {5！}-\ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty}（-1）^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {（2n + 1）！}、\ cos x = 1- \ frac {x ^ 2} {2！} + \ frac {x ^ 4} {4！}-\ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty}（-1）^ n \ frac {x ^ {2n}} {（2n）！}。式\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 xでこれらのべき級数を注意深く展開すると、x ^ nキャンセルを含むすべての項が表示され、定数項1だけが値として残ります。
回答
これについて考えるには、三角関数の比率を考慮する必要があります。サイン比は、ある角度から斜辺の反対側の角度、つまりo / hに等しいことがわかっています。また、余弦比は、斜辺上の角度に隣接する側、つまりa / hに等しいこともわかっています。次に、これらの比率の両方が2乗されていることがわかります。これは、三角恒等式sin ^ 2（x）+ cos ^ 2（x）= 1が（o / h）^ 2 +（a / h）と同等であることを意味します。 ^ 2 = 1、これはo ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2に等しい。最小公分母があるので、これら2つの方程式を組み合わせて、（o ^ 2 + a ^ 2）/ h ^ 2を得ることができます。次に、これを見て、三角形のすべての辺を定義していることがわかります。ピタゴラス定理により、a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2であることがわかります。これらのo、a、hの値はすべて三角形の異なる辺であるため、a、b、cに等しいことがわかります。ピタゴラス定理のcの値は直角三角形の斜辺であるため、h = cであることがわかります。これは、aとbがoとaに等しいことを意味します。結果は変わらないので、どちらがどの文字に割り当てられているかは関係ありません。次に、ピタゴラスの定理から、a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2であり、o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2につながることがわかります。これは、前の方程式の分子を代入して、（h ^ 2）/（h ^ 2）と同等にすることができることを意味します。最後に、変数をそれ自体で割ると1に等しいことがわかっているため、この方程式は1に等しくなります。元の方程式に戻ると、sin ^ 2（x）+ cos ^ 2（x）=であることが証明されています。 1.