ベストアンサー
すでに投稿されている他のアンサーを見て、私はそれらの完全性にまったく満足していません。 …そして、経験豊富な数学の家庭教師として、私は簡潔な答えを与える義務があると感じています。
あなたが示したcos（2x）の公式は、コサインの3つの二倍角の公式の1つです。この方程式をsin（x / 2）について解くと、正弦の半角同一性が得られます。
次の点に注意してください。 *をマークしました。あまり知られていない三角法の規則の1つは、すべての三角関数の引数を方程式の両側で同じ定数で同等に除算できることを示しています。実際のところ、任意の定数を除算できます。しかし、これは常に役立つとは限りません。上記の方程式をsin（x / 3）について解いてから、これを使用してsin（pi / 12）を見つけます。美しく機能します。
実際にsin（x / 2）式を使用するには、次に示すように、同等の複素数を使用して特定の方程式を操作する必要があります。
もちろん、これは上の最初の図に示されています。ハーフアングルアイデンティティを知る/導き出すことに加えて、より大きな課題は実際にそれを適用することです。
回答
I。 同等性として知られる問題解決アプローチを使用しましょう。
このアプローチでは、有利なオブジェクトまたはオブジェクトのセットを選択して調べます。プロセスで実りある関係を導き出すことができることを期待して、さまざまな角度からそれらを見てください。
そのようなオブジェクトまたは概念の1つは、正方形の領域。
斜辺の長さが1である直角三角形から始め、角度xを選択し、三角形の辺の長さを\ cos xとしてマークします。これは、三角形の高さ、および\ sin xは、三角形のベースとして扱うことに同意します：
次に、三角形の正方形の領域がその底の半分の積であることが証明された事実です。 e over height：
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
次のステップ真空状態では、2 \ sin x \ cos xの反対側で何が待っているのか正確にはわからないため、非常に困難です。発見者の立場から、私たちは未知の深淵を見つめています。だから、それを直感、幸せな考え、または単なる鼻と呼びますが、私たちはこう推論します：
わかりました、そうでなければ抽象的なものに具体的な概念（正方形の領域）を付ける方法を見つけました、そして直面しましょうそれはかなり不思議な表現ですが、正確には2の因数を処理する必要があるため、正確ではありません。
どうすればよいですか？
では、2つの同じ三角形を隣接させるのはどうでしょうか。一緒に？
その後、高さ、つまり用語の\ cos xは同じままですが、2つの同一のベース（用語の\ sin x）を1つに溶接することで勝ちます：
私たちがあなたの表現を直観的にフォロー/解釈していることを確認してください。
今が同等性は背が高く、数えられます。新しい複合形状はまだ三角形であり、その正方形の領域はまだ次のとおりです。
\ dfrac {1} {2} \ cdot（2 \ cdot \ sin x）\ cdot \ cos x \ tag {2}
ただし、同じ形状を別の方法で見る権利があります。長さ1の辺を底辺として扱う場合、赤で示されているそれに垂直な高さが高さです。ただし、上部の頂点の角度は2倍です。したがって、定義による新しい高さは次のようになります。
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
したがって、同じ三角形の同じ正方形の領域は次のようになります。レンダリング：
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
ただし、（ 2 ）と（ 4 ）は同じ大きさを表します。したがって：
\ dfrac {1} {2} \ cdot（2 \ cdot \ sin x）\ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
次のことがわかりました：
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II。同様ですが、より文字通りの処理を行うには、上記と同じ三角形から始めて、中心がBで半径がBAの円\ sigmaを作成して、\ sinx辺の長さを2倍にします。
しかし、ACはEで\ sigmaと交差し（x 5 ^ {\ circ}である限り）、Thaleの定理またはEuclidの B3P31 （半円の角度は正しい）Eの角度は正しい：
直角三角形ABCとAEDは共通の角度\シータを共有しているため、\ angle ADE = xとなり、EDの\ triangleAEDから次のようになります。
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
しかし、EDの直角三角形CEDから、次のようになります。
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
したがって：
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
（2つの部分の間のギャップを埋めるために線分の長さを使用したため、これはより細い同等物と考えることができます）
III。おそらくこのバージョンは高度すぎるように見えるかもしれませんが、とにかく2つの理由で表示します。 1つの理由は、数学では同じ結果を得る方法がたくさんあるだけでなく、これらの方法のいくつかは意外に思われるかもしれないことを示すことです。もう1つの理由は、学ぶことを楽しみにしていることです。
数学教育のある時点で、複素数と呼ばれるこれらのオブジェクトに遭遇する可能性があります。これらの数値を使用して、2つの三角関数を次のように記録できます（スイスの偉大な数学者レオンハルトオイラー（1707–1783）による）：
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} \ tag * {}
ここで、eはオイラーの数であり、iにはi ^ 2 = -1というこの独特の特性がありますが、これを少しの間無視します。中学校の代数の規則に従って、上記の2つの分数を乗算します。
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big（e ^ {i2x} + 1 –1 –e ^ {-i2x} \ Big）= \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big（e ^ {i2x} -e ^ {-i2x} \ Big）= \ sin 2x \ tag * {}
（ 5 ）による。