ベストアンサー
おおよその解決策を考え出す方法は次のとおりです：
xの値は、\ sin {x}の範囲外である間隔x ^ 2> 1の外側にあるため、間隔[-1,1]内にある必要があります。 -1 \ le x 、\ sin {x} <0であるのに対し、x ^ 2> 0の場合のように、間隔[0,1]にさらに制約することができます。区間[0,1]内で、x = 0の自明な解が存在します。
x = \ frac {\ pi} {6}の場合、\ sin {x} = \ frac {1} {2 }一方、x ^ 2 <\ frac {1} {2}。はるかに大きいxの場合、明らかにx ^ 2> \ sin {x}があるため、区間（0,1]に少なくとも1つの解が存在する必要があります。さらに、この区間では、\ sin {x}は負の2次導関数を持ちます。一方、x ^ 2は正の二次導関数を持っているため、区間（0,1]には最大で1つの解があります。x^ 2の曲線が\ sin {x}の曲線を超えると、再び交差することはできません。
したがって、（0,1]には正確に1つの解があります。その解を推定するには、正弦関数のテイラー系列の最初の2つの項を使用して、x- \ frac {x ^ 3} {6} =を取得します。 x ^ 2。これは、近似解としてx ^ 2 + 6x-6 = 0またはx = \ sqrt {15} -3になります。小数点以下6桁まで、\ sqrt {15} -3 \約0.872983。
比較すると、数値近似はx = 0.876726として小数点以下6桁の解を与えます。したがって、テイラー系列の2つの項のみを使用した近似はかなり近いものでしたが、完全ではありませんでした。
回答
このような質問の場合、通常、関数をグラフ化して、それらがどのように動作するかを理解することをお勧めします。実数の答えが必要だとしましょう。
両側に2xを追加し、2で割ってx = 1.3 \ sin（x）を得ることができます。正弦関数は-1から1の間に制限されているため、-1.3から1.3の間のxの値のみを考慮する必要があります。グラフy = xは単なる直線です。グラフy = 1.3 \ sin（x）は、1.3が直角よりも小さく、正弦が-\ pi / 2から\ pi / 2に増加するため、-1.3と1.3の間で上向きに傾斜しています。
微積分を知っている場合、1.3 \ sin（x）が増加する速度は1.3 \ cos（x）で与えられることがわかります。この変化率は増加し、その後再び減少します（これは変曲点と呼ばれます）。 y = 1.3 \ sin（x）のグラフは、-1.3から0まで凹状になり、次に0から1.3まで凹状になります。 x = 0が解であることを見つけるのは比較的簡単です。 y = 1.3 \ sin（x）の傾きは、その時点でのy = xの傾きよりも大きいため、そこで下から上に交差します。この時点で、1.3 \ sin（1.3）の値を計算する必要があると判断しました。もちろん、正弦関数はラジアンで指定された角度に適用されることを忘れないでください。 1.3未満です。
この時点で、状況の性質を推測できます。 2つの関数は、-1.3から1.3まで3回交差します。ポジティブソリューションを呼び出すc。対称性（1.3 \ sin（-c）=-1.3 \ sin（c）= 2（-c））のため、負の解は-cです。 1.3 \ sin（x）の凹面は、他の解決策がないようにします。したがって、残っているのはcが何であるかを理解することだけです。
一部の学生が奇妙だと思うのは、このような方程式を解くための「閉じた形」がないことが多いということです。 0から1.3の間に解決策があることはわかりますが、この場合、使い慣れた関数の観点から、そのための公式はないと思います。したがって、それに対処したい場合は、それについて何を知る必要があるかを決定する必要があります。
ある程度の精度で計算したい場合は、いくつかの方法があります。この場合に機能する素朴なアプローチがあります。 xの値を0から1.3の間で取ると、それが解よりも小さい場合は1.3 \ sin（x）が大きくなり、解よりも大きい場合は1.3 \ sin（x）が小さくなります。したがって、xの値を1.3 \ sin（x）に置き換え続けると、ルートに近づきます。つまり、x = 1.0から始めるとしましょう。次に、1.3 \ sin（1）= 1.9039 …なので、次にxの値として使用します。このプロセスは解に収束しますが、各ステップで値が解にいくらか近づくだけなので、それほど速くはありません。
2番目の方法は、間隔を細分化することです。したがって、1.3 \ sin（1.1）と1.3 \ sin（1.2）を評価して、解の最初の小数を取得することができます。 1.3 \ sin（1.1）<1.1であるのに対し、1.3 \ sin（1.2）> 1.2であるため、ルートは1.1から1.2の間にあるようです。次に、1.3 \ sin（1.15）を試して、解が1.15より小さいか大きいかを確認できます。この方法もそれほど速く収束しませんが、最初の方法が収束しない状況ではうまく機能します。
他にもいくつかの方法があります（ Root-アルゴリズムの検索-ウィキペディア）、特に割線法とニュートン法。それらはより速く収束します。
割線法は、両側に2つの近似、たとえば1.1と1.2を保持します。次に、近似解を得るために、グラフが両方とも直線であると仮定します。計算はそれほど単純ではありませんが、実際には複雑ではありません。
ニュートンの反復では、曲線に接線を引いて2つの曲線が交差する場所を概算し、それを繰り返します。ルートに十分近い値から始める場合、通常、それはかなり速く収束します。精度の桁数は、通常、ステップごとに2倍になります（ただし、ルートに多くの桁の精度が必要になる可能性は低いようです）。