ベストアンサー
投稿された表現質問は完全には正しくありません。
二項定理
（x + y）^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C（n、k） x ^ {nk} y {k}
すべての複素数 x および y および非負の整数 n 。
x = 1およびy = -1とします。次に、右側に、希望する交互の差と組み合わせの合計が表示されます（選択と呼ばれるもの）。左側には0 ^ nがあり、これは明らかに0であると想定しています。ただし、前述のように、二項定理はすべての非負の整数に適用されます。 n 。これには0が含まれます。この場合、左側は0 ^ 0 = 1であり、許可しなかった場合です。
私を信じていない場合は、次の簡単な演習を試してください。パスカルの三角形の最初の数行を書き出します。投稿された質問の「選択」式は、任意の行を選択し、左端の要素（どの行を選択しても常に1）から始めて、右の次の要素を減算し、加算と減算を交互に続けることと同じです。その行のすべての要素。このプロセスでは、11を含む行と12 1を含む行、および1 3 31を含む行がすべて0になることに注意してください。しかし、1つしか含まれていない一番上の行ではどうなりますか？その1から始めて、次の要素を減算する準備をしますが、次の要素がないため、0ではなく1の結果で既に完了しています。交互の違いという概念から一番上の行を除外する必要はありません。合計すると、すべての行で0 ^ nが得られます。
0 ^ 0 = 1に関してハングアップしている人の場合、少なくともコンテキストでは、そのハングアップを克服する必要があります。整数指数の。 0 ^ 0を未定義と見なす場合は、（0 + y）^ {n}と（x + 0）^ {を評価するために二項定理を使用できなかったため、二項定理と上記の証明も破棄します。 n}、 n の値に関係なく、前者の累乗の二項定理の最後の項と後者の累乗の二項定理の最初の項がどちらも0 ^ 0を含むため、その合計を未定義と呼び、二項定理が x =に適用されないというまったく不要でばかげた除外を追加する必要があります。 0および y = 0の場合。空の積ルールにも違反します。これは、因子のない積が乗法ID要素でなければならないことを示します。 、1。関係0！ = 1は、二項定理や他の多くの場所でも重要ですが、0です。 1つは、1から始まる因数を掛け合わせていないため、空積であり、最終的には0！= 1であることを示す空積の法則です。同じ空積ルールは、すべての複素数 x であり、 x の値は空積ルールには関係ないため、はい、 x = 0は、 x の他の値と同様に適用されます。例外的なケースはいかなる方法でも正当化されません。
少なくとも整数指数のコンテキストで0 ^ 0 = 1を考慮する他の多くの理由：∑表記を使用した多項式とべき級数の公式定義とそのような多項式とべき級数の操作、さまざまな組み合わせの問題など。少なくとも整数の指数のコンテキストでは、0 ^ 0が1以外の値を持っていると見なしたり、未定義と見なしたりする正当な理由はありません。
少し悩んでいる人もいるかもしれません。私がそのように書いているのは、あなたが教えられたことすべてに違反しているからです。おそらく、私が書いたものの有効性を考えることすら困難なほどの苦痛であり、あなたは私がどこが間違っているかを教えてくれる応答コメントを書こうとしています。誤ったコメントであなたがばかげているように見えるのを防ぐために、私は先に進んで、私が来ると予想するものに対処します：
- 間違いではありません。」先生や教科書に関しては、お話ししたくありませんが、中等学校の数学（およびその他の教科書）の教科書には、単純化されすぎて間違っているというトピックがたくさんあります。ここでの私のコメントは、中等学校の数学教師のプットダウンとして意図されたものではありません。彼らには挑戦的な仕事があり、ほとんどの場合、素晴らしい仕事をして生徒の進歩を助けたいと思っています。ほとんどの中等学校の数学の教師は、大学で数学を専攻していませんでした。ほとんどの場合、数学を専門とする教育を専攻していました。彼らは、さまざまな生徒の考え方、さまざまな方法でさまざまなポイントを説明する方法、生徒が資料に関して抱えている問題を見つけて診断する方法、および数学とは直接関係のないその他の非常に価値のあることについて学びます。彼らは練習をするために、実際の教師の指導の下で、模擬教室や実際の教室で時間を過ごします。彼らは、中等学校レベルで、教えることを期待する数学の多くの詳細なレビューを取得します。彼らはプログラムでいくつかの大学レベルの数学コースを受講しますが、数学専攻が受講するほど多くはなく、高度でもありません。数学専攻はそれを何もしませんが、彼らのより進んだコースでは、実際の、生きている、プロの数学者がすることへのより多くの露出を取得し、ほとんどの数学教師はその露出を取得しません-彼らは数学者が実際に自然数のようなものを定義する方法を理解していません整数、角度測定に度の代わりにラジアンを使用する数学者への限定的な露出（および角度の単位記号の欠如は、度ではなくラジアンを意味します）、プロの数学者が適切な操作の順序と見なすものに浸らない（そして、 、それはPEMDAS、BODMAS、…）などではありません。あなたの数学の教師は本が教えることを教えており、彼らはプロの数学者がしていることに反することをあなたに教えていることに気づいていません。
- 指数の除算法則：0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0、これは未定義です。したがって、0 ^ 0は等しいため、未定義である必要があります。 2番目の=で無効なステップが実行されました。指数の除算法則の1つはb ^ {m-n} = b ^ m / b ^ nですが、使用するためにいくつかの制限があります。その1つは、法の適用により、0の逆数または0による除算を含む式が生成されてはならないということです。したがって、 bの場合、この法を使用することは禁止されています。 = 0、それはナンセンスを生成するためです。これは、ポイントを「証明」するために利用したいナンセンスです。申し訳ありませんが、要点を証明するために、それが無効であるほどナンセンスなものを利用することはできません。無効な手順は失敗した証明を構成します。また、 a = b = c （ c が未定義）は無効です— a および b は有効な場合と無効な場合があります。辺の少なくとも1つが未定義であるか、そうでなければ無効である場合、方程式を使用してはなりません。両側が定義されていないため、1/0 = 1/0であると結論付けることは禁じられています。したがって、それらが等しいとは言えません。これら2つのことが何であるかさえわからない場合、2つのことが等しいことをどうやって知ることができますか。意味します（定義がないため、わかりません）。
- 「0 ^ 0は不定形であるため、値をとることはできません。私の微積分の教科書にはそう書かれています。」不定形の概念は、意図したコンテキストに保つ限り、非常に現実的で便利です。不定形は、制限のコンテキストでのみ適用されます。つまり、そのフォームを見て、制限が存在するかどうか、存在する場合はその制限値を判別することはできません。 0 ^ 0と書くことは、f（x、y）= x ^ y at （x、y）=（0、0）の値を指します— x と y が個別に0に近づくため、制限は何ですか。制限が存在する可能性がありますが、関数はそこで定義されていません。関数がそこで定義されている可能性がありますが、制限は存在しません。 2つの概念は、どちらかまたは両方（値の定義と値の制限）が失敗した場合を除いて、互いに関係がありません。その時点で関数は連続していません。制限が0 ^ 0の形式を取っていると言うことは、その情報だけでは制限が存在するかどうか、およびその値が何であるかを判断できないことを意味します。その事実は、0 ^ 0 = 1であるか未定義であるかとは関係ありません。 0 ^ 0 = 1と言っても、0 ^ 0の形式の制限の値が1でなければならないという意味ではありません。
- 0 ^ y = 0すべての正の y およびx ^ 0 = 1（すべてゼロ以外の x ）。 （この引数を使用する多くの人は、 y が負であってはならず、2つのケースを対称として扱うことを忘れています。）両方の x と y 、一方の場合は0 ^ 0 = 0、もう一方の場合は0 ^ 0 = 1-矛盾、したがって定義できません。さて、見てみましょう。二乗が9の2つの数があります：+3と-3。したがって、9の平方根は+3ですが、9の平方根は-3です。ああ、矛盾があるので、9の平方根のようなものがあってはなりません—それは未定義でなければなりません。いいえ、+ 3は-3よりも有用な答えなので、√9= 3と定義します。すべての非ゼロの実数 x だけでなく、すべての非ゼロ複合体 x 、さらにはすべての非ゼロクォータニオン x ;一方、0 ^ yは、正の実数 x に対してのみ簡単に機能します。負の実数ではなく、虚数ではないため、数え切れないほどの数の穴があるオプションを真剣に検討するのではなく、穴が1つしかない定義を使用します？ 1の結果は、0 ^ 0の0よりもはるかに便利です。選好の理由がはるかに少ないときに9の平方根を+3と呼ぶことをいとわない場合、選好の理由が非常に強いときに0 ^ 0 = 1と呼ぶのはさらに多くなります。空積の法則では、0ではなく1を選択する必要があります。多くの実用的なアプリケーションでは、1が非常に有用な結果であるのに対し、0または未定義は問題のある結果になります。意味のあるアプリケーションでは0が有用な結果ではないため、1を選択します。
回答
\ text {二項定理による}
（a + x）^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n –m} x ^ m
\ text {a = 1とxを-1に置き換える}
（1-1）^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m}（ -1）^ m
\ implies 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0}-\ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2}-\ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n}（-1）^ n
\ text {QED}