ベストアンサー
数学における空間の一般的な定義は実際にはありません。私たちが視覚的に考えることができるほとんどすべてのオブジェクトは、スペースと呼ぶことができます。距離空間、多様体、ヒルベルト空間、軌道体、スキーム、測度空間、確率空間、係数スタックはすべて、私たちが空間と呼ぶものです。
空間の一般的な定義に最も近いのは、確率の概念です。位相空間。たとえば、メトリックスペース、マニフォールド、ヒルベルトスペース、オービフォールド、およびスキームはすべて、もう少し構造のある位相空間です。
位相空間は、点のセットX、およびサブセットのコレクションで構成されます。
- 空のセットとX自体が開いている、
- 開いているセットのすべての和集合が開いている、
- li>
- そして開集合のペアの交点は開いています。
開集合は\ mathbb {R}の開集合のようになっているはずです。あいまいになるリスクがありますが、開集合をXのサブセットUと見なし、Uを離れることなくUのすべての点を少し移動できるようにします。これは文字通り\ mathbb {R}の場合です。開集合はサブセットUであると定義されているため、すべてのx \ inUに対して\ epsilon> 0が存在し、（x- \ epsilon、x + \ epsilon）\ subset U（つまり、xを\ epsilon未満移動する） Uの外側のポイントにはなりません。
この最小限の情報（ポイントのセットと開いているサブセットのコレクション）は、関数が連続しているかどうかを判断するのに十分であることがわかります。これにより、位相空間が非常に便利になります。
一方、数学のすべての空間が位相空間であるとは限りません。また、他の人が答えているように、いくつかの余分な構造を持つ点のセットですらあります。これは、数学期前に知って驚いたことでした。
私が考えている反例は、モジュライスタックのアイデアです。これは（これは奇妙になります！）特定の種類のファンクター F：\ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}、ここで\ mathcal {D}の各オブジェクトDのプリイメージは連続関数のコレクションと見なされますDからFが表すはずの空間まで。
これは一体どういう空間なのか？直感をつかむために、単一の点からなる空間から位相空間Xへの連続関数のセットを考えてみましょう。各点p \ in Xについて、単一の点をpに取る関数を取得します。この意味で、点からXまでの連続関数のセットは、Xの点を表します。線分などのより凝ったものからXへの関数を考えると、Xの点がどのように関連しているかがわかり始めます。相互に-パスによって相互に接続できるもの、近いもの、遠いものなど。考えられるすべての関数のセットをXに組み込むことで、実際にはXが何であるかを正確に推測できます。これは、米田の補題という名前のアイデアです。モジュライスタックの考え方は、これを比喩として使用することです。位相空間に関数を記述する「ように見える」任意の関数を使用して、「空間」を定義できます。
強調したいことこれは、数学にはさまざまな種類の空間がありますが、空間とは何かという基本的な考え方を知りたい場合は、位相空間を研究する必要があります。とはいえ、物事は奇妙になります！
回答
スペース自体には正式な定義があまりありません。それは「もの」という言葉のほぼ数学的なバージョンです。より近い同義語は「セット」かもしれませんが、「スペース」という言葉は、いくつかの余分な要素…いくつかの構造…も機能していることを意味します。それ以外の場合は、「セット」という単語を使用するだけです。
さまざまな種類のスペースには定義があります。ベクトル空間は