ベストアンサー
例を使って説明します。図は、示されているようにロードおよびサポートされているトラスを示しています。私たちの関心は、トラスのすべてのメンバーの反応と力を見つけることです。メンバーの反力と力は、加えられた力の大きさと方向だけでなく、それらの位置、つまり適用点にも依存します。空間図は、力の作用点とトラスの形状を処理します。
上の図は反応を得るためだけに。ベクトル図では、加えられた力P\_1はabであり、力P\_2はbcです。ベクトル図では、反応R\_1はdaに等しく、反応R\_2はcdに等しくなります。
空間図とベクトル図をさらに進めて、すべてのメンバーの力を計算できます。ここでは、図を非常にわかりやすくするために行っているわけではありません。
ベクトル図とケーブルカーのポリゴンが閉じると、平衡状態になります。
回答
ここで「位置」が何を意味するのかは完全には明確ではありませんが、答えは、ベクトルには位置がなく、ベクトル空間には位置がある可能性があるということだと思います。これら2つのアイデアはアプリケーションをカバーしています。
I ここで、問題の「位置性」の欠如は、同じ長さと方向の平行な「矢印」が同じベクトルを表すという事実を指していると仮定します。この規則を導入する理由はたくさんあります。
- 基本的なベクトルの使用法の根底にある基本的な考え方の1つは、変位の概念です。 、これは速度、加速度、および（F = maを介して）力のソースでもあります。変位には位置がありません。むしろ、すべての位置で特定の方向と大きさの変位が発生する可能性があります。 「北西に10マイル進む」と言うと、これは特定の場所だけでなく、あらゆる場所に適用される変位命令です。
- 変位を組み合わせることができますが、2番目の変位が最初の変位の終わりから始まる場合に限ります。 。変位が矢印で表されている場合、結合された変位を取得するには、結合された変位のテールツーヘッド構成を取得するために、矢印の1つを平行移動する必要があります。もちろん、平行移動された矢印が同じ変位を表し続けない場合、これは意味がありません。
- 力の観点からオブジェクトは、すべての質量が重心に集中していて、すべての力がその点に作用しているように動作します。 （トルクが導入されると何か違うことが起こるので、ここではイタリック体の言語に注意しました！）
これらすべての状況をカバーする数学的抽象化はベクトル空間です。どこにでも配置できる矢印が必要な場合は、矢印のセットに等価関係を課し、2つの矢印が平行で、方向が同じであれば、2つの矢印を等価にします。 （「同じ方向」には、体系的にするのが少し難しい直感的なコンテンツがあります。）ベクトルは、になります。矢印の同値類とベクトルの加算は、「便利な」クラスの代表を取り、それらをテールツーヘッドまたは中線定理のいずれかを介して加算することによって定義されます。
同値類の使用そして、彼らの代表者はまったく奇妙に見えるべきではありません。それはまさに私たちが分数で行うことです。 「分数」は、同値関係a / b \ equiv（na）/（nb）の下での記号a / b（b \ ne 0）の同値類と見なすことができます。 2つの「分数」を追加する場合は、同じ分母を持つ2つの代表が見つかるまで、それぞれの同値類を調べてから、分子を追加します。ベクトルの加算はこれに非常に似ています。さらに、分数には、クラス代表の「優先」セットがあり、分数は「最低条件で」あります。ベクトルの場合、「優先」クラスの代表、つまり尾が原点にあるベクトルもあります。これらは、矢印のアナロジーが機能しているときにベクトル空間の抽象的な要素と見なされるものです。
現在、矢印がどこにあるかが非常に重要であり、矢印を移動しても意味がなく、異なるポイントにある矢印を追加できない、または追加すべきでない状況があります。さまざまな場所での風速を表す矢印の付いた天気図は、そのような例です。前述のトルクも一例です。重心に対する力の位置が重要であり、結果として生じるトルクを変更せずに力の矢印を別の点に変換することはできません。 （ちなみに、トルク自体は加算できるベクトルであることに注意してください。）一般的な数学的な例では、スカラーフィールドの勾配フィールドは、特定の場所に固定され、任意に翻訳できない矢印で構成されます。
これらの位置依存ベクトルに関する基本的な観察は、通常のベクトルです。空間の法則（加算とスカラー倍算）任意の1つの固定位置にあるすべてのベクトルを引き続き保持します。これは、位置に依存する難問の「解決策」は、問題の空間のすべての点にベクトル空間全体を配置することであることを示しています。結果の空間は次のようになります。通常、接空間と呼ばれます。これは、ある点の接空間が、その点を通るパラメーター化されたパスのすべての速度ベクトルのセットと見なすことができるためです（意味のある説明）。
すべての接空間の集合は、接線 bundle、そして、スペースの各ポイントに位置依存のベクトルが必要な場合は、スペースからタンジェントバンドルへのマップが必要です。このマップは、次の各タンジェントスペースで正確に1つのベクトルを選択します。明確なポイント;このようなマップはバンドルのセクションと呼ばれ、結果として得られる位置依存ベクトルのコレクションは元の空間のベクトル場。
このようにして、ケーキを手に入れて食べることができます。ベクトルには「位置」はありませんが、ベクトル空間にはあります。